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第一章 单元测试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案 A
解析 设极值点依次为x1,x2,x3且a<x1<x2<x3<b,则f(x)在(a,x1),(x2,x3)上递增,在(x1,x2),(x3,b)上递减,因此,x1、x3是极大值点,只有x2是极小值点.
2.在区间[eq \f(1,2),2]上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+eq \f(1,x2)在同一点处取得相同的最小值,那么f(x)在[eq \f(1,2),2]上的最大值是( )
A.eq \f(13,4) B.eq \f(5,4)
C.8 D.4
答案 D
3.点P在曲线y=x3-x+eq \f(2,3)上移动,设点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( )
A.[0,eq \f(π,2)] B.[0,eq \f(π,2)]∪[eq \f(3,4)π,π)
C.[eq \f(3,4)π,π) D.[eq \f(π,2),eq \f(3,4)π]
答案 B
4.已知函数f(x)=eq \f(1,2)x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≥eq \f(3,2) B.m>eq \f(3,2)
C.m≤eq \f(3,2) D.m<eq \f(3,2)
答案 A
解析 因为函数f(x)=eq \f(1,2)x4-2x3+3m,
所以f′(x)=2x3-6x2.
令f′(x)=0,得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-eq \f(27,2).不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,所以3m-eq \f(27,2)≥-9,解得m≥eq \f(3,2).
5.函数f(x)=cos2x-2cos2eq \f(x,2)的一个单调增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),\f(2π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(π,6)))
答案 A
解析 f(x)=cos2x-cosx-1,
∴f′(x)=-2sinx·cosx+sinx=sinx·(1-2cosx).
令f′(x)0,结合选项,选A.
6.设f(x)在x=x0处可导,且eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f?x0+3Δx?-f?x0?,Δx)=1,则f′(x0)等于( )
A.1 B.0
C.3 D.eq \f(1,3)
答案 D
7.经过原点且与曲线y=eq \f(x+9,x+5)相切的切线方程为( )
A.x+y=0
B.x+25y=0
C.x+y=0或x+25y=0
D.以上皆非
答案 D
8.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0时,f(x)是( )
A.增函数
B.减函数
C.常数
D.既不是增函数也不是减函数
答案 A
9.若a2,则方程eq \f(1,3)x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有( )
A.0个根 B.1个根
C.2个根 D.3个根
答案 B
解析 设f(x)=eq \f(1,3)x3-ax2+1,则f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x∈(0,2)时,f′(x)0,f(x)在(0,2)上为减函数,又f(0)f(2)=1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)-4a+1))=eq \f(11,3)-4a0,
f(x)=0在(0,2)上恰好有一个根,故选B.
10.一点沿直线运动,如果由始点起经过t s后距离为s=eq \f(1,4)t4-eq \f(5,3)t3+2t2,那么速度为零的时刻是( )
A.1 s末 B.0 s
C.4 s末
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