三 充分条件和必要条件.docVIP

第3 课 充分条件和必要条件 【考点导读】 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件． 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论： 若集合，则是的充分条件； 若集合，则是的必要条件； 若集合，则是的充要条件． 3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础练习】 1.若，则是的充分条件．若，则是的必要条件．若，则是的充要条件． 2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件． （2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件． （3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的_____必要不充分___条件． （4）已知，，那么是的____必要不充分___条件． 3.函数过原点的充要条件是． 4.对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“”是“”充要条件；②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“ab”是“a2b2”的充分条件； ④“a5”是“a3”的必要条件. 其中真命题的序号是____②_④___． 5.若，则的一个必要不充分条件是． 【范例解析】 例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）是的___________________条件； （2）是的___________________条件； （3）是的___________________条件； （4）是或的___________________条件. 分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用. 解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件. （2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件. （3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件. （4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件. 点评： = 1 \* GB3 ①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件. = 2 \* GB3 ②在判断时注意反例法的应用. = 3 \* GB3 ③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假. 例2.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的_________条件. 分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答. s 解： 故p是s的的充要条件. 点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用. 例3.已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 分析：若是的必要不充分条件等价其逆否形式，即是的必要不充分条件. 解：由题知：， 是的必要不充分条件，是的必要不充分条件. ，即得. 故m的取值范围为. 点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件． 例4.求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是． 分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性． 证明：必要性：若是方程的根，求证：． 是方程的根，，即． 充分性：关于x的方程的系数满足，求证：方程有一根为－1． ，，代入方程得：， 得，是方程的一个根． 故原命题成立． 点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可． 【反馈演练】 1．设集合，，则“”是“”的_必要不充分 充分不必要 条件． 2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的 条件． 3．设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的______充分不必要______条件． 4．已知，，则是的_____必要不充分_______条件． 5．集合A＝{x|＜0}，B＝｛x || x －b|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件，则b的取值范围是． 必要不充分 6．设集合，，则“”是“”的______________条件． 7．设全集，子集，，那么点的充要条件为． 8．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件； ④的必要条件而不是充分条件；⑤是