三《柯西不等式的证明及应用》教案(新人教选修-).docVIP

柯西不等式的证明及应用 柯西（Cauchy）不等式 等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 = 恒成立 即 当且仅当 即时等号成立 证明（2）数学归纳法 （1）当时 左式= 右式= 显然 左式=右式 当 时， 右式 右式 仅当即 即时等号成立 故时 不等式成立 （2）假设时，不等式成立 即 当 ，k为常数， 或时等号成立 设 则 当 ，k为常数， 或时等号成立 即 时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立 柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 证明相关命题 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。 已知点及直线 设点p是直线上的任意一点， 则 （1） （2） 点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有 由（1）（2）得： 即 （3） 当且仅当 （3）式取等号 即点到直线的距离公式 即 证明不等式 例2已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得： 故 解三角形的相关问题 例3 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明 证明：由柯西不等式得， 记为的面积，则 故不等式成立。 求最值 例4已知实数满足， 试求的最值 解：由柯西不等式得，有 即 由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立， 代入时， 时 5）利用柯西不等式解方程 例5．在实数集内解方程 解：由柯西不等式，得 ① 又 即不等式①中只有等号成立 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 它与联立，可得 6）用柯西不等式解释样本线性相关系数 在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 现记，，则， ，由柯西不等式有， 当时， 此时，，为常数。点 均在直线 上， 当时， 即 而 为常数。 此时，此时，，为常数 点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大 当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。