三元次方程组解法列举.docVIP

PAGE  PAGE 6 三元一次方程组解法列举 人教版义务教育课程标准实验教科书“8.4三元一次方程组解法举例”是新添的内容。目的是通过解三元一次方程组进一步体会消元——代入消元、加减消元的思想方法，同时为二次函数等知识的学习做一定的准备。 “8.4三元一次方程组解法举例”是选学内容，是学生具备二元一次方程组这一基础知识后的拓展内容。三元一次方程组作为刻画现实问题的数学模型之一，它含有三个未知数，如何消元，先消哪个元是需要认真思考的。如何正确、灵活求解三元一次方程组是值得探究的问题。 在教学中，解决方程组的基本指导思想就是“消元”。而消元时，教师应注意引导学生先考虑好消去哪个未知数，再具体使用加减法和代入法进行消元，即根据不同的方程组结构特点，采取相应的消元策略是至关重要的。以此逐步培养学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力。 本文在教学的基础上，将三元一次方程组的解法通过题目的特点进行归类教学，使学生在学习的过程中注意对基础知识进行提炼、归纳、整理，对基本解法的清晰认识，通过必要的练习，达到掌握基础知识和提高基本技能的目的。 一、三元一次方程组之特殊型 例1：解方程组 分析：方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。 解法1：代入法，消x. 把③分别代入①、②得 解得 把y=2代入③，得x=8. ∴ 是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型. 针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。 解法2：消z. ①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤ 由③、⑤得 解得 把x=8,y=2代入①得z=2. ∴ 是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型. 例2：解方程组 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。 解：由①+②+③得4x+4y+4z=48， 即x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3， ②-④得 y=4， ③-④得 z=5， ∴ 是原方程组的解. 典型例题举例：解方程组 解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ， 即x+y+z=30 .④ ④-①得 z=10， ④-②得 y=11， ④-③得 x=9， ∴ 是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型. 例3：解方程组 分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即，根据方程组的特点，学生可选用“有表达式，用代入法”求解。 解法1：由①得y=2x，z=7x ，并代入②，得x=1. 把x=1，代入y=2x，得y=2； 把x=1，代入z=7x，得 z=7. ∴ 是原方程组的解. 分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。 解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1. 把k=1，代入x=k，得x=1； 把k=1，代入y=2k，得y=2； 把k=1，代入z=7k，得 z=7. ∴ 是原方程组的解. 典型例题举例：解方程组 分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，学生易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x = y； 由③得z=.从而利用代入法求解。 解法1：略. 分析2：受例3解法2的启发，有的学生想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10 ，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，学生就会解决了。 解法2：由②、③得 x:y:z=10:15:12. 设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3. 把k=3，代入x=10k，得x=30； 把k=3，代入y=15k，得y=45； 把k=3，代入z=12k，得 z=36. ∴ 是原方程组的解. 根据方程组的