三棱锥体积.docVIP

棱锥的体积教案? 教学目标： 1、使学生掌握锥体的体积公式及其初步应用； 2、通过三棱锥体积公式的探求，教学生学习观察、类比、归纳、猜想等合理推理方法，培养学生分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力； 3、通过三棱锥体积公式的探求，培养学生独立思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力及勇于探索创新的精神等良好的个性品质． 教学重点 三棱锥体积公式及其探求． 教学难点： 三棱锥体积公式的探求． 教学过程： 一、传授新课 （问题式教学） 师：（开门见山）前两节课我们研究了柱体的体积，今天这节课我们就来研究另一个重要的多面体——棱锥的体积公式。这里我们首先需要思考一个问题：对于一个一般的棱锥，我们如何研究其体积？（可以借鉴棱柱公式的推导）让同学们分组讨论。 方案一： 生：可以先研究三棱锥的体积。 师：为什么？ 生：因为棱锥的底面是一个边形，在它的底面上作条对角线，每条对角线和棱锥的顶点可确定一个平面，这个平面将棱锥分割成个三棱锥，显然这个三棱锥的体积之和等于原棱锥的体积。因此，只要解决了三棱锥的体积问题，就解决了棱锥的体积问题。（ppt展示） 师：非常好！现在我们要研究的问题已经转化成求三棱锥的体积，那么三棱锥的体积如何求呢？ 生：思考。。。。。。 师：现在我们已有的是棱柱的体积公式，能否用这已知的结论来解决未知的问题？ 生：讨论。。。。。。 生：叫学生代表回答：这里要用到补形法。把三棱锥补成一个与其等底面积等高的三棱柱。 师：那么如何把一个一般的三棱锥补形成一个三棱柱呢？同学们思考一下。（如果学生回答不上来，这可适当提醒棱柱上下底面及侧棱的关系） 等学生回答好以后，再用ppt 展示一下两者的关系。 师：我们已经把一个三棱锥补成了一个三棱柱，而且同学们可以发现在补形的过程中，我们补上了一个四棱锥，因此在这三棱柱可以看作是由一个三棱锥和一个四棱锥组成。这里我们不仅没有解决三棱锥的体积公式，在补形过程中又出现了一个新的锥体——四棱锥。这样的处理过程是不是离我们的目标——解决三棱锥的体积越来越远了呢？这里我们对四???锥先如何处理？ 生：连接对角线，把其分成两个三棱锥。（ppt） 师：很好，这样我们已经将一个三棱柱成功分割成三个三棱锥了。而棱柱的体积公式上几节课我们已经得到解决了，所以现在我们剩下来要解决的问题变成了什么？ 生：猜测一下三个三棱锥的体积有何关系？ 师：非常好，那同学们思考一下三个三棱锥的体积是什么关系？能否简单证明？ 生：相等 师：如何证明？ 师：前面证明棱柱体积相等时，由祖暅原理得，只要两棱柱底面积及高相等即可。那么我们能否这样的结论类比到棱锥中呢？ 生：能。 师：在棱锥中，应有怎样的结论？ 生：等底面积等高的三棱锥体积相等。 师：请同学们证明（ppt） 师：证明好等底等高的三棱锥的体积相等后，可以让学生再看刚才的分割图（ppt），请同学们简单地说明刚才分割出来的三个三棱锥体积相等。 师：于是我们就得到三棱锥的体积为。进一步，对于棱锥，如果其底面积为，高为，则它的体积公式为 问题就得到解决，总结思路。 这里分别用了割、补两种方法。把棱锥转化成三棱锥问题用了割的思想方法。在利用棱柱体积公式推导棱锥体积公式时用的的补的思想方法。 二、棱锥体积公式的应用 已知正方体，且棱长为， (1) 求三棱锥与正方体体积之比。 解： 思考：若没有已知棱长，此题应该如何解决？ （2）求三棱锥与正方体体积之比 解一：直接求三棱锥的体积和正方体的体积，再进行比较。 解二：利用割补方法，间接求三棱锥的体积，（正方体的体积－4个角（三棱锥）的体积） 说明：对于解法二，适用性更广，如果把“正方体”改为“长方体”，解法一求三棱锥的体积就比较困难了，这时，解法二的优越性体现的更明显了。 例2．已知正四棱锥的底面边长为，且它的侧棱与底面所成的角为，求这个四棱锥的体积。 师：（开门见山）今天这节课我们要来研究棱锥的体积公式。对于一个一般的棱锥，我们如何研究其体积？（可以借鉴棱柱公式的推导）让同学们分组讨论。 方案二： 生：我们先来证明等底面积等高的棱锥体积相等。（理由是：祖暅原理，体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等。）于是要解决棱锥的体积问题，只要解决三棱锥的体积即可。（只要找一个与棱锥等底面积等高的三棱锥即可） 师：如何解决三棱锥的体积呢？ 生：思考。。。。。。 师：现在我们已有的是棱柱的体积公式，能否用这已知的结论来解决未知的问题？ 生：讨论。。。。。。 师：叫学生代表回答：这里要用到补形法。把三棱锥补成一个与其等底面积等高的三棱柱。 （问题：对于一个一般的三棱锥如何补成一个三棱柱？） 这里用ppt 展示一下两者的关系。 师：对于三棱柱的体积我们上节课已经解决了，怎么把现在我们