三章 微分中值定理与导数的应用作业习题.docVIP

第三章 微分中值定理与导数的应用作业习题 1、证明下列的不等式。 （1）；（2）。 2、设是任意实数，求证 在内必有零点。 3、设在可导，存在，，求证。 4、求下列极限。 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）。 5、求函数的单调区间与极值点。 6、证明当时，有。 7、求证当时，有。 8、证明方程有且仅有三个实根。 9、求椭圆的曲率半径。 10、在半径为R的球内作一内接圆锥体，要使锥体体积最大，问其高，底半径应是多少？ 作业习题参考答案： 证：（1）取在上对用拉格朗日中值定理，使得 ， 即 。 （2）取在上对用拉格朗日中值定理， ，使得 故。 2、证：设 则；由罗尔定理，， 使即是在上的零点。 3、证：对则在上可导，不妨记 。 由拉格朗日中值定理，有 。 又，故 故。 4、解：（1） 。 （2） 。 （3）= 故=。 （4）。 （5）， 故=。 （6）=， = 故。 （7） 。 （8） =。 5、解：。 （0，1）1（1，）（，） -0 + 0 -极小值极大值的单调减少区间是（0，1）与（，）； 单调増加区间是（1，）。 的极小值是极大值是。 6、证：先对原不等式变型得 当时，所以原式。 设。 当时，故所以在严格増加。 ， 即当时，。 7、证：设，则（舍弃-1）。 因为。 所以在上最大值为2，最小值为，即 亦即。 8、证：设易知， 因为由连续函数介值定理 使得即至少有三个零点。 假设=0有四个根，记为，由罗尔中值定理，有三个零点，有二个零点，有一个零点。这显然不可能。故方程有且仅有三个实根。 9、解：在椭圆两边同时对求导，得 ； ； ， 曲率半径。 10、解：设圆锥底半径为，高为，故圆锥体积是， R r h-R 如图代入得 ， (舍去)。 故由的符号易知，此时达到极大值。 在上只有一个极大值，是最大值。 故当时，球内接圆锥体积最大。