三章 n维向量空间.docVIP

第三章 n维向量空间 1．教学目的和要求： (1) 理解n维向量、向量的线性表示的概念. (2) 理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. (3) 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. (4) 了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系. (5) 理解向量空间的概念以及会求向量空间的基和维数，了解向量在基下的坐标，了解内积、欧式空间、标准正交基以及正交矩阵的概念. 2．教学重点： (1) 向量的线性表示，判断向量组线性相关与线性无关. (2) 向量组的极大线性无关组的求法. (3) 向量组的秩与矩阵秩的关系. (4) 向量空间的判别. 3．教学难点： 向量组的线性相关性的判别与极大线性无关组的求法. 4．本章结构： 从向量的运算引出向量组的线性相关性的概念，进而推出向量组线性相关性的判别方法，又讨论了向量组的极大线性无关组，从而定义了向量组的秩，将向量组与矩阵联系起来，这样向量组的秩与矩阵的秩之间的关系就对应起来了，最后介绍了向量空间和欧式空间的概念，讨论了向量空间的基和维数。 5．教学内容： §3.1 n维向量的定义 1. 定义 定义：个数构成的有序数组, 记作, 称为维行向量． –– 称为向量的第个分量 –– 称为实向量（下面主要讨论实向量） –– 称为复向量 零向量： 负向量： 列向量：个数构成的有序数组, 记作, 或者, 称为维列向量． 零向量： 负向量： 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 2. 例题 例1(向量与矩阵的关系) 对于的矩阵， 则的行为n维行向量，的列为m维列向量。 例2(向量与线性方程组) 一个m个方程，n个未知量的线性方程组 可以用矩阵和向量来表示。 §3.2 n维向量的线性运算 1．定义 线性运算：, 相等：若, 称． 加法： 数乘： 减法： 2．线性运算律： , , (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) 3．例题 例 设 (1) 求的负向量； (2) 计算 §3.3 向量组的线性相关性 1．线性组合与线性表示 对维向量及, 若有数组使得 , 称为的线性组合, 或可由线性表示． 例如， 有 ， 所以称是的线性组合，或可由线性表示。 判别是否可由向量组线性表示的定理： 定理1 向量可由向量组线性表示的充分必要条件是： 以为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 2．向量组的线性相关性 对维向量组, 若有数组不全为0, 使得 称向量组线性相关, 否则称为线性无关． 线性无关：对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有 称向量组线性无关, 否则称为线性相关． 例1 用定义判断线性相关性 (1) 向量线性相关； (2) 向量线性相关； 判定线性相关的定理 定理2 向量组线性相关 其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示． 推论：向量组线性无关 任何一个向量都不可由其余个向量线性表示． 定理3 n维向量组线性相关有非零解，其中。 推论：n维向量组线性无关只有零解，其中。 例2 已知，试讨论向量组的线性相关性。 例3 判断向量组 , , …, 的线性相关性． 定理4 若向量组线性无关, 线性相关, 则可由线性表示, 且表示式唯一． 一些结论： (1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关； (2) 含零向量的任何向量组线性相关； (3) 基本向量组线性无关； (4) 有两个向量相等的向量组线性相关； (5) mn时， m 个n维向量必线性相关. 特别：m=n+1 ； (6) n个n维向量线性无关它们所构