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第三章 中值定理与导数的应用 第三章 中值定理与导数的应用  PAGE 16  PAGE 15 第三章 中值定理与导数的应用 §1 中值定理 必作习题 P166 1，2，3，5，6，7，10 必交习题 证明：当时，。 二、证明方程只有一个正根。 三、设在上连续，在内可导，证明在内有一点，使得 四、证明：若函数在内满足关系式，且，则。 五、设函数在的某邻域内具有阶导数，且 ， 试用柯西中值定理证明： §2 洛必达法则 必作习题 P171 1 (2) (4) (5) (7) (11) (13) (15)，2 必交习题 求下列极限 （1）= （2）= （3）= （4）= （5）= （6），其中。 §3 泰勒公式 必作习题 P177 1，2，3 必交习题 求函数的二阶麦克劳林公式。 求函数的阶麦克劳林公式。 三、当时，求函数的三阶泰勒公式。 四、当时，求函数的阶泰勒公式。 §4 函数单调性的判定法 必作习题 P182 1，2，3(1) (2) (4) (5)，4(1) (3)，5 必交习题 确定下列函数的单调区间： （1）； （2） 证明：当时，； 三、设在上，证明函数在上是单调增加的。 §5 函数的极值及其求法 必作习题 P189 1 (3) (4) (6) (7) (12)，2 必交习题 求下列函数的极值： （1）； （2）； （3） 二、试问为何值时，函数+在=处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值。 三、讨论方程(其中)有几个实根？ §6 最大值、最小值问题 必作习题 P194 1 (2) (3)，4，5，7，9 必交习题 求函数在上的最大值与最小值。 二、设，求 （1）在上的最大值 （2） 三、要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高之比是多少？ 四、从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗(图见P195的图3－19)，问留下的扇形的中心角取多大时，做成的漏斗的容积最大？ §7 曲线的凹凸与拐点 必作习题 P200 1 (3) (4)，2(2) (4)，3 (1) 必交习题 一、求曲线的拐点及凹凸区间。 二、试决定中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。 三、利用函数图形的凹凸性证明不等式：. 四、设在的某邻域内具有三阶连续导数，如果，，而，试问是否为极值点？为什么？又是否为拐点？为什么？ §8 函数图形的描绘 §9 曲率 必作习题 P206 1，3； P217 1，2，3，4 必交习题 一、描绘下列函数的图形： 二、对数曲线上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。 证明曲线在点处的曲率半径为。 习题课 必作习题 P233 1，2，3，4，8，9，10(2)，17 必交习题 一、设在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，且，证明存在一点，使。 二、设0ab??函数在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试利用柯西中值定理证明：存在一点，使。 三、设都是可导函数，且，证明：当时，。 四、证明不等式：当时，有。 五、设，求的极值。 六、设函数在上二次可微，且满足：(1) ；(2) ， (3) ，证明方程在内有唯一实根。