三章 三角函数的恒等变换.docVIP

PAGE  PAGE 101 第三章 三角函数的恒等变换 一、教材内容及特点 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式和二倍角公式以及运用这些公式进行简单的恒等变换。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，并体会三角恒等变换的工具性应用。本章的内容安排按两条线进行，一条明线是建立公式，学习变换；一条暗线就是发展推理能力和运算能力，发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程中，也体现在建立公式的过程中。 二、教学目标 1.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用。 2.能以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积 （公式不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角变换中的作用。 三、教学重点、难点 本章的重点内容是利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行三角恒等式的变换。 难点是公式的灵活运用（正用、逆用、变形用） 四、教学建议 1.准确把握教学要求 本章的内容安排贯彻“删减繁琐的计算,人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意了不以半角公式，积化和差公式以及和差化积公式作为变换的依据，而只是把这些公式的推导作为变换的基本练习，因此，教师不要随意改变教材初衷，只利用一些较简单的恒等变换去培养学生的推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用即可。 2.突出数学思想方法的教学 教师要在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导，本章不仅关注使学生得到和（差）角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法，要在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法，对学生解决问题的一般思路进行引导，这对学生养成科学的数学思考习惯能起到积极的促进作用。 3.1.1 两角差的余弦公式 一、教材内容及其特点 本节主要内容是两角差的余弦公式的推导及公式的应用，特点是在公式的推导上有所侧重，使学生了解公式的来龙去脉，加深对知识的生成过程的理解。 二、教学目标 1.了解单角与复角的三角函数间的内在联系，进行一些简单题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力和逻辑推理能力。 2.通过公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在教学中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。 三、教学重点、难点 重点：通过探究得到两角差的余弦公式 难点：公式的推导过程 四、教学过程 （一）导入新课 以前我们学习的三角函数知识中，若要求值，都是求单个角的三角函数值，而在实际问题中有时还需要求象的值等与的值有什么关系呢？我们本节主要就来研究这个问题——两角差的余弦公式 （二）新知的探究 1.两角差的余弦公式的推导 方法1°利用单位圆上的三角函数线推导 这个问题有一定难度，教师要逐步引导学生探讨出公式，具体见数学4教材第125页。 方法2°运用向量的知识进行探究 这是一个很简洁的方法，让学生与方法1°比较，体验不同方法解决同一问题的乐趣，详细见教材 2.两角差的余弦公式及其结构特点 （1）公式：为任意角 此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为。 （2）结构特征：教师引导学生观察公式，进行总结得出 ①公式的左边是两角差的余弦，右边是两个角的余弦积与正弦积的和。 ②运算符号：左“-”右“+” （三）应用举例 例1 利用差角余弦公式求的值 （ 解答见数学4教材例1） （说明与建议：这个问题引言中已提到，学生很容易自己完成此题目，因此，本题完全放手让学生自己完成。引导学生将拆成特殊角，，然后做教材第127页练习第1题，也可求的值） 例2 已知是第三象限角，求的值 （解答见教材数学4第127页例2） （说明与建议：教师引导学生观察题目的特征，联想到刚推导的余弦公式，学生不难发现，欲求的值，必先知道的值，然后用公式可求解，从已知条件看，还少与的值，根据同角的平方关系不难求出，但开方时一定要注意函数值的正负号。本题教师分析后仍可让学生自己独立完成，没必要教师一言堂去讲，然后让学生做教材第127页练习题第2题） （四）课堂小结 以提问的方式进行总结： 1.本节学习的主要内容是什么？ 差角余弦公式的两种推导方法及公式的应用 2.在公式应用的