三章 概率与分布.docVIP

PAGE  PAGE 37 第三章 概率与分布 第一节 基础概率 一、什么是随机现象 客观现象 随机现象 随机事件的概率(即发生可能性的大小)就是随机事件隐蔽着的规律。 二、概率的概念 在一定条件下，随机现象可能出现多种结果。随机现象的结果以及这些结果的集合就称作随机事件，简称事件。 为了使随机事件发生可能性的大小能进行比较，有必要确定概率的最大值和最小值是什么。为此，我们把不可能发生的事件称为不可能事件（记作）,不可能事件发生的概率定为0： 在一定条件下一定会发生的事件称作必然事件(记作S)，必然事件发生的概率定为l： 对于一般随机事件，由于它发生的可能性介于“必然”与“不可能”之间，因此它发生的概率介于0和1之间： 0≤≤l 例、某班有学生50名，其中有15名女生。现从该班任抽20名学生，则“其中有10名女生”的事件为随机事件；“其中至少有5名男生”的事件为必然事件；“其中有18名女生”的事件为不可能事件。( 为什么? ) 三、概率的计算方法 （一）频率法 在相同条件下进行次试验或观察，随机事件出现的次数称作频数。频数与试验次数的比值，称作次试验或观察中事件E出现的频率，记作：=。 频率具有如下性质： l、0≤≤l 2、对于必然事件，频率=l； 对于不可能事件（），频率=0； 3、频率具有双重性质：随机性和统计规律性。 法国统计学家蒲丰（Buffon）和英国统计学家皮尔逊（K·Pearson）所做的大量投掷硬币的经典试验结果说明：当→∞时，频率的稳定值反映了随机事件自身固有的规律性。 试验者掷币次数N出现“正面”频数n频率蒲丰 皮尔逊 皮尔逊4040 12000 240002048 6019 120120.5069 0.5016 0.5005 凭借日常生活经验可知：某事件出现的可能性（概率）越大，则实际观测结果的频率也越大，反之亦然。因此，常常把事件的概率定义为观察次数趋于无穷时相应频率的稳定值。即： == 在实际中，当概率不易求出时，往往就取充分大的频率作为概率的近似值。但应注意，频率是个试验值，具有随机性，它只能近似地反映事件出现的可能性大小。概率则是个理论值，其值是惟一的，能精确地反映事件出现可能性的大小。 (二)古典法 在一定条件下, 随机现象具有多种可能的结果。对随机现象的观察可近似地看做随机试验。随机试验若满足条件：（1）在相同条件下可以重复；（2）在每次试验前虽然不能预言会出现哪一种结果，但它共有多少种可能的结果是事先巳知的。我们就把随机试验中的每一种结果称作一个样本点（基本事件）。所有样本点的全体称作样本空间（S）。 例、试验“投掷一颗骰子”的样本空间为：={E1、E2、E3、E4、E5、E6}。 E1：出现“l”点 E2：出现“2”点 E3：出现“3”点 E4：出现“4”点 E5：出现“5”点 E6：出现“6”点 基本事件自身或由基本事件组成的集合就称为随机事件。它是样本空间的某个子集。 若随机试验满足以下两个条件：（1）它的样本空间只有有限个样本点；（2）每个样本点出现的可能性相同。则称这种随机试验为古典型随机试验，简称古典概型。对于古典概型，如果事件包含个样本点，则事件发生的概率为： 也就是说，如果随机试验的各种可能结果在事前可以一一列举出来，设这种结果共有n个，且这几种结果的出现是等可能的，而所研究的事件包含有个上述的结果，则事件发生的概率为： 例、投掷一颗骰子，求事件=“出现奇数点”的概率。() 例、扔掷二枚均匀的硬币，求事件= “两枚都朝上”及B= “一枚朝上、一枚朝下”的概率。 ( ) 例、袋中装有6个白球，3个黑球。从中任取3个球，计算取出的3个球都是白球的概率。 ( ) 四、概率的运算 (一)事件之间的关系 l、事件的包含与相等 如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A。记作： AB或BA 如，若用表示“优秀的公务员”，用表示“称职的公务员”，则事件A包含于事件B。 如果AB，同时BA，那么,事件A与事件B相等，记作：A=B 2、事件和 事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件C, 称作A与B的事件和, 记作： C=A＋B或C=AUB 例如，若用表示“具有硕士学位”，用表示“具有博士学位”，用表示“具有本科以上学历”，则事件为事件A与事件B的事件和。 3、事件积 事件A与事件B同时发生所构成的事件C，称作A与B的事件积，记作： C=AB或C=A∩B 例如，合格的领导干部必须德才兼备。若用表示“有德”， 用表示“有才”， 用表示“合格的领导干部”，则事件为事件A与B的事件积。 4、互不相容事件 若事件A发生必然导致事件B不发生，反之亦然，则称事件A与事