三章 空间向量与立体几何知识点(据福建考试说明).docVIP

第三章 空间向量与立体几何 福建《2012年高考数学考试说明》 16．空间向量与立体几何 　　（1）空间向量及其运算 　　① 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 　　② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 　　③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 　　（2）空间向量的应用 　　① 理解直线的方向向量与平面的法向量． 　　② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 　　③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）． 　　④ 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用． 剖析： 一、1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量??做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。 3. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。 注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z） 4. 空间向量的线性运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ;; 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 运算法则：三角形法则、平行四边形法则 5.空间向量的在空间直角坐标系中的运算公式： 若，，则： 加：， 减：， 数与向量相乘：， 向量与向量相乘：， 两个向量平行（共线）：， 两向量垂直：。 向量在空间直角坐标系中的表示：若，， 则。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 模长公式：若，， 则， 夹角公式：。 ΔABC中①=A为锐角②=A为钝角，钝角Δ 两点间的距离公式：若，， 则， 或 二、空间向量的应用 1、直线方向向量及平面的法向量（见书本） 2、线线平行两线的方向向量平行 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行两面的法向量平行 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直 线面垂直线与面的法向量平行 面面垂直两面的法向量垂直 3、三垂线定理：三线之间的关系，见书本 4、线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角， 线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角. 面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 同步导学中的基础练习 P53 例2 （1）（2）（3） P54 1、3、4、7 P55 例2 （1） P56 1、2、6、9 P57 例1、例2 P58 例3 （1） 1、3、10 P60 1、2、4、8、10（1） P61 例1、例2 P62-63 2、6、7 P65 3 P67 例1、1 P69 例1 书本P126 例2 选修2-1第三章《空间向量与立体几何》基础训练题 一、选择题 1 下列各组向量中不平行的是（ ） A B C D 2 已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A B C D 3 若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ） A B C 或 D 或 4 若A，B，C，则△ABC的形状是（ ） A 不等边锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等边三角形 6