三章 塑性本构关系(续新).docVIP

PAGE  PAGE 54 §3.4 Tresca屈服条件 实验表明，最大剪应力达到一定数值时材料就开始屈服，屈服条件为： τmax=k （3—14） k为常数。 一、各主应力按大小顺序排列（即σ1＞σ2＞σ3） τmax= 代入（3—14）得： σ1－σ3 = 2k （3—14‘） 设单向拉伸实验的屈服应力为σs，单向拉伸是复杂应力状态的特例，因此也应满足（3—14‘）。将σ1=σs，σ2=σ3=0代入（3—14‘）得： k= （3—15） （3—15）代入（3—14‘）得屈服条件为： σ1－σ3 =σs （3—16） 设由薄壁筒扭转实验得到的屈服剪应力为τs，纯扭转也是复杂应力状态的特例，因此也应满足（3—14）。将τmax=τs，代入（3—14）得： k =τs （3—17） 代入（3—15）得： 在Tresca屈服条件下σs和τs 的关系： τs= （3—18） 二???各主应力不按大小顺序排列 （3—16）可改写为： σmax－σmin =σs （3—19） （3—19）等价于下式中至少有一个式子成立： （3—20） （3—20）等价于 （3—21） （3—21）是各主应力大小顺序未知时屈服的必要条件。 上式可化为： （3—22） 是J3的偶函数。 （3—16）、（3—21）和（3—22）是Tresca屈服条件的三种不同的表达方式。该屈服条件常用在主应力大小顺序为已知的问题上。 说明： （1）在应力空间中表示Tresca屈服条件的屈服曲面是一个以等倾线为轴线的无限长正六角柱面。在π平面上的屈服轨迹为正六边形ABCDEF，如图3.8所示。 下面分析（3—20）式与屈服轨迹正六边形ABCDEF的对应关系。 OA是应力空间中的Oσ1轴在π平面上的投影，因此A点对应单向应力状态。而A点又在屈服曲面上，因此应有Oσ1=σ1=σs，投影到π平面上，应乘以因此，OA（正六边形的边长）为： OA = （3—23） 对AB边上任意何一点S都有： 图3.8 代入前面得到的算式(OS)x = ，得： 。 故知，AB边代表（3—20）式中的第一式，其中A点=－30°为单向拉伸应力状态。B点ωσ=30°为单向压缩应力状态。G点ωσ=0°为纯剪切应力状态。 同理可证，DE、FA、CD、BC、EF各边分别代表（3—20）式中的后五式。C、E都代表单向拉伸应力状态，D、F都代表单向压缩应力状态，各边中点都代表纯剪切应力状态。 （2）对于平面应力状态，σ3=0，方程组（3—20）化为： （3—24） σ3 = 0的平面（σ1，σ2坐标面）与正六角柱屈服曲面的交线为斜六边形A‘B’C‘D’E‘F’。方程组（3—24）中各式分别代表A‘B’、D’E‘、F’A‘、C‘D’、B’C‘、E‘F’各边。 §3.5 Mises屈服条件 Tresca屈服条件完全忽视了居于中间大小的主应力对材料屈服的影响，这是和实际有出入的。 Mises用Tresca屈服条件的屈服轨迹正六边形ABCDEF的外接园作为屈服轨迹。 由（3—23）式知圆的半径为σs， 圆的方程为： R2 = （3—25） R代表屈服曲面上各点对应的应力偏张量的矢量长度。由（3.7）得： R== 代入（3—25）式得： Mises屈服条件的第一种表达方式： （3—26） 由的定义式可把上式变成Mises屈服条件的第二种表达方式： （3—27） 说明： （1）在π平面上，Mises屈服轨迹是一个半径为的圆。它的屈服曲面是一个以等倾线为轴线的无限长圆柱面。 （2）以σ1 =σs，σ2 =σ3 = 0代入（3—27）式，得到恒等式，说明Mises屈服条件符合单向拉伸实验的结果。 （3）对于纯剪应力状态，屈服时应有σ1=τs，σ2=0，σ3=－τs，代入（3—27）得： τs ==0.557σs （3—28） 与（3—18）式相比可知，Tresca屈服条件和Mises屈服条件在τs和σs的关系上有约15％的差异。 因此，Mises屈服条件和Tresca屈服条件在单向拉压应力状态下完全一致，在纯剪切时二