三章 线性方程组.docVIP

第三章 线性方程组 1、消元法求解线性方程组 例1．解线性方程组 解：将方程组的增广矩阵通过矩阵的初等变换，化为行简化的阶梯形矩阵 由最后的矩阵写出原方程组的同解方程组（本题即为方程组的唯一解） ，，， 注释：消元法是解线性方程组最有效最基本的方法，通过该例题我们得到： 求解线性方程组的一般步骤是： 第一步，首先将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵； 第二步，根据阶梯形矩阵判断是否有解（是否等于）； 第三步，有解时，继续对阶梯形矩阵利用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵； 第四步，由行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。 2、求齐次线性方程组的基础解系的简便方法 例2．求下列齐次线性方程组的基础解系 （1） （2） 解（1）将其系数矩阵用初等行变换化为行简化矩阵 最后一矩阵的第1、3、4列构成了3阶单位矩阵，所以，从而该方程组的基础解系含个解向量。 解法1 将上面最后一个矩阵的2、5列反号，依次得基础解系的两个解向量的第1、3、4三个坐标，而的另两个坐标依次取2阶单位矩阵的两列，即基础解系为 ， 解法2 由上面最后一个矩阵得（1）的同解方程组 （为自由未知量） 令，得 即 （为任意常数） 所以基础解系为 ， （2）将其系数矩阵用初等行变换化为行简化矩阵 由此得，而最后一矩阵的前2列2行构成一2阶单位矩阵，所以基础解系含两个解向量，且的前两个分量分别为上面最后一矩阵3、4列前两个坐标的相反数，而它们的后两个分量分别为2阶单位矩阵的两列，即 ， 另从最后一个矩阵得与原方程组同解的方程组 （为自由未知量） 令，得原方程组的通解为 即 （为任意常数） 所以基础解系为 ， 注1：方法1直接从行简化矩阵找基础解系，若要求通解，只需作基础解系的任意线性组合即得。方法2是先得到通解，再得到基础解系，所以基础解系与通解同时给出。 注2： 前面我们给出的是基础解系的简便求法，而基础解系不是唯一的，只要个解向量线性无关即可为基础解系。所以有时为了避免解向量的分量为分数我们可灵活选取，比如上面例2在（2）题法2中可令，则得基础解系为 ， ． 例3．设为矩阵，且，则有非零解。 证法一 因为矩阵，知未知量的个数为，，故，于是由非零解。 证法二 本题是含个方程，个未知量的齐次线性方程组，因，即方程的个数小于未知量的个数，故有非零解。 证法三 由于，说明的个列向量线性相关，故必有非零解。 注释： 当齐次线性方程组方程的个数小于未知量的个数时，必有无穷多解。 例4．设，证明若有个互不相同的根，则为零多项式。 证：设的个互不相同的根分别为，则 是关于个未知量，个方程的齐次线性方程组，其系数矩阵的行列式为阶范德蒙行列式，由于互不相同，知，从而上齐次线性方程组只有零解，即，所以为零多项式。 3、齐次线性方程组 例5．设齐次线性方程组的系数矩阵为，若3阶非零矩阵满足，试求及的值。 解：由知矩阵的各个列向量均为齐次线性方程组的解向量，而，所以至少有一个列向量为非零向量，从而有非零解，故，又 所以. 由均为3阶方阵，且，得，所以的各列均为的解，而为非零矩阵，所以有非零解，从而知. 注释：我们可由判断，事实上若，则可逆。于是由得，显然不对，故可知. 例6．求作一齐次线性方程组，使它的基础解系为， ． 分析：由于已知的是齐次线性方程组的基础解系，即已知，，要求系数矩阵，我们可通过对前式转置构造一个以为系数矩阵的齐次线性方程组，且为其解向量来求。 解：设所求的齐次线性方程组为，由题设 ，， 从而 所以有， 即 于是所求齐次线性方程组的系数矩阵的转置矩阵的各个列向量，即的各个行向量为的解。由 所以的基础解系为， 由于为四元线性方程组且基础解系含有两个解向量，所以，从而可取 使齐次线性方程组满足题设要求。 注释：由上面两题我们看出当有结论成立时，应立即想到的每个列向量均为齐次线性方程组的解。这是证明题中常用的方法。 例7．设是齐次线性方程组的基础解系，向量组满足（），如果矩阵的行列式，则也为该齐次线性方程组的基础解系。 证：由（）知（）为该方程的个解向量，且 而，所以可逆，于是 所以向量组也是的线性组合，从而向量组与 等价，又两个向量组均含有个向量，且为基础解系，故也为该齐次线性方程组的一个基础解系。 注释：证明个未知量的齐次线性方程组的一组解向量为其基础解系的方法有以下两种： ①证该组向量线性无关，且含有个解向量； ②证明该向量组与的一基础解系等价，且所含向量个数相等。 例8．已知线性方程组 （I） 的一个基础解系为，，…，，写出下列线性方程组 （II） 的