三章 中值定理与导数的应用答案.docVIP

习题3.1 （A） 一 选择 1—5 BCBDB 二 计算与证明 1．若，证明。 证明：令，则 当时，，从而在单增 因为，故，即 2．设，证明。 证明： 10：令，则 因，则，从而在单减。 故，即 20：令，则 当时，，从而在单减 故，即 由100、20知， （B） 一 选择 1—4 CBDD 二 计算与证明 1．求 解：令，则在上连续，在可导，故由拉格朗日定理知，存在一点，使 当时，则 故原式 2．设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使。 证：令，因为在上连续，且，，则由零点存在定理在内至少存在一点，使，即。 下证唯一性。设在内存在两个点与，且，使，，在上运用拉格朗日中值定理，则有，使得 这与题设矛盾，故只有一个使。 3．设在上具有二阶导数，且，如果，证明至少存在一点，使。 证明：由题设知在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使得。 因为，则由题设知在上连续，在内可导，且，故在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使， 4．设在上连续，在内二阶可导且，且存在点，使得，试证至少存在一点，使得。 证：在及上都满足拉格朗日定理条件，则存在，，使得 因为，则， 因在内二阶可导，则在上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点，使。 习题3.2 一 选择 1—5 CBABD 二 计算 1．求 解：原式 2．求 解：原式 3．求 解：原式 4．求 解：令，则 ∵ ∴原式 5．求 解：令，则 故原式 令，则 ∵ ∴原式 6．求极限。 解：令，则 ∵ ∴原式 7．求 解：原式 习题3.3 略 习题3.4—3.6 （A） 一 选择 1—8 CACBC DCD 二 计算 1．求函数的单调区间。 解： 当时，， 当时， 当时， 故在及单增，在单减。 2．求函数的极值。 解： 令得 当时，，从而单减 当时，，从而单增 故时，取极小值0 3．求函数的单调区间与极值。 解： 令，得或 故可疑极值点1， 1-+-极小值0极大值4．当为何值时，在处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。 解： 由于在处有极值，则，从而 当时，，从而单增 当时，，从而单减 故在处取得极大值。 5．求内接于椭圆，而面积最大的矩形的边长。 解：设矩形在第一象限的顶点坐标为，则 故矩形面积为 当时，取最大值， 矩形边长分别为和。 6．函数的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。 解：，因，则是开口向上的抛物线 要使没有极值，则必须使在是单增或单减 即必须满足或 故只有时，才能使成立 即时，没有极值。 7．试证的拐点在曲线上。 证：， 设是的拐点，则 即 ∵ ∴的拐点在曲线上。 8．试证明曲线有三个拐点位于同一直线上。 证：， 令得：，， ∴，， 故三个拐点，， 容易验证：、、在同一直线上。 9．试决定中的的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。 解：， 令，得或-1 则拐点为及 10．在拐点处切线斜率为 从而在拐点处法线斜率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以 20．在拐点处切线斜率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以。 故时，曲线的拐点处的法线通过原点。 （B） 一 选择 1—6 DBDDC C 二 计算与证明 1．试证当时，取得极值。 证： 故时，有解 当时，，从而单增 当时，，则单减 当时，，则单增 故在处取得极大值 在处取得极小值 2．求由轴上的一个给定点到抛物线上的点的最短距离。 解：设是抛物线上任一点，则到的距离为 从而 令，得或 10．当时，只有一个驻点 当时，，从而单减 当时，，从而单增 故是的极小值点，极小值为 2．当时，有三个驻点，， 当时，，从而单减 当时，，从而单增 当时，，从而单减 当时，，从而单增 故是极小点，极小值为 习题 3.7 一 选择 1. B 二 计算 略 自测题 一 选择 1—3 BDC 二 解答 1．求 解：令，则，从而