三章 向量简版...docVIP

PAGE  PAGE 27 第三章 向量组的线性相关性 历年试题分类统计及考点分布 分 值 考点 年份 向量组的线性组合与线性表示线性相关、无关的定义性质及判别向量组的极大无关组与向量组的秩等价向量组、向量的秩与矩阵的秩向量空间、基变换、坐标变换、过渡矩阵标准正交基，正交矩阵其他合计873388338933903391927310936694339596339755984379933003301448020344804440506440744081010093471044合计4483221554 本章知识脉络图 考点分析 1. 向量组线性相关性的概念、性质及判别，考过9次，是重点。 2. 矩阵的秩（其中有一道是关于空间解析几何的应用题）及其与向量组的秩的关系考过4次。 3. 满秩方阵（既可逆方阵，或非奇异方阵）是一类重要的方阵。如果为n阶方阵，则下列条件相互等价： 1) （为非奇异方阵） 2) 可逆（为可逆矩阵） 3) （为满秩方阵） 4) 与同阶单位矩阵行（列）等价 5) 可以表示成若干个初等方阵的乘积 6) 齐次线性方程只有零解 7) 对任意n维列向量，非齐此线性方程组有唯一解 8) 的行（列）向量组线性无关. 利用这些等价条件，就可以将其中某个问题转化成与之等价的问题进行处理，（可将m阶方阵的行列式是否为零的问题转化为m阶方阵的秩是否小于m的问题，或转化为齐此线性方程组是否有非零解的问题）。特别地，由1)与8)的等价性，提供了n个n维向量是否线性相关的判别方法——归结为由这n个n维向量所组成的方阵的行列式是否为零的问题。 大纲要求 向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 考试内容与要求 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。 理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。 了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。 了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。 了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。 基本内容 一、向量的线性关系 1.线性组合 定义 若，则称可由线性表示，或称是向量组的线性组合. 注意: 零向量是任意向量组的线性组合. 定理 可由线性表示 非齐次方程组 有解 2.线性相关性 定义 设是m个n维向量，若有不全为零的数使 则称线性相关，否则称 线性无关. 注意：（1）无论线性相关，还是线性无关，当时，都有 （2）线性相关当且仅当除去全为零的以外，还有一组不全为零的使 （3）而线性无关当且仅当时 （4）充要条件是只要不全为0，则 性质与判别法 (1)线性相关 齐次组 有非零解. 中至少有一个向量可由其余个向量线性表示. (2) 线性无关 齐次组 只有非零解. 中任一向量都不能由其余个向量线性表示. (3)只有一个向量组成的向量组， 向量组线性相关; 向量组线性无关. (4) 两个向量组成的向量组，其中， 线性相关 (5)若向量组中含有零向量，则向量组必线性相关. (6)若向量组线性无关，则该向量组的部分组必线性无关； 若向量组部分组线性相关，则向量组线性相关. (7)设是s维向量 是t维向量 则，， 是维向量, 若线性无关，则线性无关; 若线性相关，则线性相关. (8)若向量组中向量的个数向量的维数，则向量组线性相关. (9) n个n维向量线性无(相)关 矩阵的