三章 基于MATLAB的科学计算—线性方程组.docVIP

科学计算—理论、方法 及其基于ＭＡＴＬＡＢ的程序实现与分析 三、 解线性方程组（线性矩阵方程） 解线性方程组是科学计算中最常见的问题。所说的“最常见”有两方面的含义： 问题的本身是求解线性方程组； 许多问题的求解需要或归结为线性方程组的求解。 　　关于线性方程组 　　　　　　（１） 其求解方法有两类： 直接法：高斯消去法（Gaussian Elimination）； 间接法：各种迭代法（Iteration）。 １、高斯消去法 引例 考虑如下（梯形）线性方程组： 高斯消去法的求解思路：把一般的线性方程组（１）化成（上或下）梯形的形式。 ２）高斯消去法——示例 考虑如下线性方程组： 第一个方程的两端乘加到第二个方程的两端，第一个方程的两端乘 －１加到第三个方程的两端，得 ２）　第二个方程的两端乘加到第三个方程的两端，得 从上述方程组的第三个方程依此求解，得 ３）高斯消去法的不足及其改进——高斯（全、列）主元素消去法 在上例中，由于建模、计算等原因，系数2.001而产生0.0005的误差，实际求解的方程组为 注： HYPERLINK 数值稳定的算法.doc 数值稳定的算法 高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取（列）主元素—一列中绝对值最大的元取做主元素，高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。 列主元素消去法的基本思想：在每轮消元之前，选列主元素（绝对值最大的元素）,使乘数. 列主元素消去法的步骤：设已经完成第1步到第步的按列选主元、交换两行、消元计算，得到矩阵 . 第步计算如下：对于， （1） 选列主元素，即确定使； （2） 如果，则方程组解不唯一，或者接近奇异矩阵，停止运算； （3） 如果，则交换第行与第行元素； （4） 消元计算： （5） 回代计算： 完全主元素消去法即是每次选主元时，依次按行、列选取绝对值最大的元素作为主元素，然后交换两行、两列，再进行消元计算. 完全主元素消去法的步骤：设已经完成第1步到第步的选主元、交换行和列、消元计算，得到矩阵 . 第步计算选主元素的范围为，即确定使. 第步计算如下：对于， （1） 选主元素，即确定使； （2） 如果，则方程组解不唯一，或者接近奇异矩阵，停止运算； （3） 如果，则交换第行与第行元素；如果，则交换第列与第列元素； （4） 消元计算： （5） 回代求解. 【注】 完全主元消去法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，但完全主元消去法解方程组，在选主元素时要化费较多的计算机时间，行主元消去法与列主元消去法运算量大体相同，实际计算时，用列主元消去法即可满足一定的精度要求. 对同一数值问题，用不同的计算方法，所得结果的精度大不一样.对于一个算法来说，如果计算过程中舍入误差能得到控制，对计算结果影响较小，则称此算法是数值稳定的；否则，如果计算过程中舍入误差增长迅速，计算结果受舍入误差影响较大，则称此算法为数值不稳定的.因此，我们解数值问题时，应选择和使用数值稳定的算法，否则如果使用数值不稳定的算法，就可能导致计算失败. 例 用高斯列主元消去法解方程组 解 . 所以，方程组的解为. ４）高斯列主元素消去法的MATLAB实现：，意为． 例 LinearEquiation02.m open LinearEquiation02 LinearEquiation02 一个典型的例子: Hilbert矩阵: 注: 非奇异矩阵的条件数: ５）ＬＵ分解　（ＬＵ　Factorization）（高斯消去法、Doolittle分解） 　　高斯消去法的消元过程，从代数运算的角度看就是用一个下三角矩阵左乘方程组的系数矩阵Ａ，且乘积的结果为上三角矩阵，即 (２) 可通过直接用A元素计算矩阵A的三角分解矩阵L和U.这种直接计算A的三角分解的方法有实用上的好处.下面利用矩阵乘法规则来确定三角矩阵L和U. . 第一步：利用A的第一行、第一列元素确定U的第一行、L的第一列元素.由矩阵乘法， ， ， 得到 ,. （3.7） 设已经计算出U的第1至r -1行元素，L的第1至r -1列元素，现在要计算U的第r行元素及L的第r列元素. 第r步：利用A的第r行、第r列剩下的元素确定U的第r行、L的第r列元素.由矩阵乘法，有 ， 得U的第r行元素为 . （3.8） 由 ， 得 . （3.9） 例5 用LU分解法求解方程组 . 解 对系数矩阵A进行LU分解， . 由，有. ，. 因此 . 解方程组，得. 解方程组，得. 6） LU 分解的MATLAB实现：或 例 A=rand(5); [L,U，P]=lu(A) A=rand(5); [L,U,P]=lu(A) L=P\L 当是主对角占优的三对角矩阵时，基于Doolittle分解可得