三章 常见曲面.docVIP

第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件 在球面上， 得 ， （3.1） 展开得 （3.2） 其中， 。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成： 当时，它表示一个球心在，半径为的球面；当时，它表示一个点；当时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。 1.2球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为，在球面上任取一点,从作面的垂线，垂足为N，连。设x轴到的角度为，到的角度为(M在面上方时，为正，反之为负)，则有 （3.3） (3.3)称为球心在原点，半径为R的球面的参数方程，有两个参数，其中称为经度，称为纬度。球面上的每一个点(除去它与轴的交点)对应唯一的对实数，因此称为球面上点的曲纹坐标。 因为空间中任一点必在以原点为球心，以为半径的球面上，而球面上点（除去它与轴的交点外）又由它的曲纹坐标唯一确定，因此，除去z轴外，空间中的点由有序三元实数组唯一确定。我们把称为空间中点M的球面坐标（或空间极坐标），其中，。点的球面坐标与的直角坐标的关系为 （3.4） 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： （3.5） 其中，对于的每一对值，由（3.5）确定的点在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的点（可能要除去个别点）便可以由数对来确定，因此称为曲面上的曲纹坐标。 空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立： 即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线，曲线的参数方程是含有一个参数的方程： （3.6） 其中，对于的每一个值，由（3.6）确定的点在此曲线上，而此曲线上任一点的坐标都可由t的某个值通过（3.6）表示。 例如，球面平面相交所得的圆的普通方程为： 而这个圆的参数方程是： 1.4 旋转面 球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。 一、旋转面的定义 定义3.1 一条曲线上每个点绕旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过的半个平面与旋转面的交线为经线（或子午线）。经线可以作为母线，但母线不一定是经线。 已知轴过店，方向向量为，母线的方程为： 二、旋转面的方程的求法 点在旋转面上的充分必要条件是在经过母线上某一点的纬圆上（如图3.2）。即，有母线上的一点使得到轴的距离相等（或到轴上一点的距离相等）；并且。因此，有 （3.7） 从这个方程中消去参数就得到的方程，它就是所求旋转面的方程。 例1：求直线绕直线旋转所得的旋转面的方程。解：设是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过的纬圆方程为 （1） 由于在母线上，所以又有 ， 即 ， （2） 由（1），（2）消去得所求旋转面方程为 。 三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程 现在设旋转轴为轴，母线在平面上，其方程为： 则点在旋转面上的充分必要条件是： 消去参数得 。 （3.8） （3.8）就是所求旋转面的方程。由此看出，为了得到平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转面方程，只要将母线在平面上的方程中改成，不动。坐标平面上的曲线绕坐标轴所得旋转面方程都有类似的规律。 四、应用举例 例3.1 母线 绕z轴旋转所得旋转面方程为 ， 这个曲面称为旋转抛物面（如图3.4）。 例3.2 母线 绕轴旋转所得曲面方程为 。 这个曲面称为旋转双叶双曲面（如图3.4）。绕轴旋转所得曲面方程为 这个曲面称为旋转单叶双曲面（如图3.5）。 例3.3 圆 绕轴旋所得曲面为 ， 即 ， 这个曲面称为环面（如图3.