三章 矩阵的进步讨论.docVIP

PAGE  PAGE 8 第三章 矩阵的进一步讨论 基础训练题 1. 矩阵A的秩指的是什么？ 解：A中非零子式的最大阶数,若没有非零子式,则A的秩为零. 2. 设F上的矩阵A的秩是r，下列论断哪些是对的？哪些是错的？是对的，给出证明；是错的，举出反例. （1）A中只有一个r阶子式不为零； 解：错.例如A=,秩A=1,但一阶非零子式有两个. （2）A中所有r?1阶子式全为零； 解：错.例如A=,秩A=2, 但A有5个2-1阶子式非零. （3）A中可能也有r＋1阶子式不为零； 解：错.否则与秩A=r矛盾. （4）A中至少有一个r阶子式不为零. 解：对.若A中r阶子式全为零,则秩Ar矛盾. 3. ?取何值时，矩阵的所有 的秩最小. 解： 4. 求下列矩阵的秩 (1) ;(2) . 解: (1)4; (2)4. 5. 设A*是F上的n阶矩阵A的伴随矩阵，若秩An－1，问A*的秩是多少？ 解: 秩A*=0. . 6. 设A是F上的m?n矩阵，其秩小于m. 证明，存在m阶非零矩???G,使得GA＝0. 证明: 设秩A＝r,则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, 使得 PAQ= 令m阶方阵B=,其中是m阶单位矩阵,因为rm, 所以,而 BPAQ=B=0 令G=BP,因为P为m阶可逆矩阵, 所以.在GAQ=0两边右乘以即得GA=0. 7. 已知矩阵A的秩为2，求一个非零矩阵C使得AC＝0. A＝ 解:因为 所以=. 8. 设?, ? 都是数域F上的矩阵A的属于特征根?的特征向量，问?＋?是不是A的特征向量？为什么？ 解:若 则不是A的特征向量; 若 则是A的属于特征根?的特征向量.这是因为A()=(). 9. 求下列矩阵的特征根. (1) ; (2) . (1) ?1=,; (2) ?1=,. 10. 设?1, ?2是数域F上的矩阵A的不同特征根，?1, ?2是相应的特征向量，证明?1＋?2不再是A的特征向量. 证明:假设?1＋?2是A的属于特征根?的特征向量,则 A(?1＋?2)= ?(?1＋?2),另一方面, A(?1＋?2)= ??1＋??2 于是.因为,所以,都不为零.因此?2=?1 . 这样 ?1= A ?1= A?2==?1 从而 ?1=0.因此.矛盾. 11. 设A, B都是数域F上的n阶矩阵，且A可逆，证明，AB与BA相似. 证明:因为 AB, 所以AB与BA相似. 12. 已知相似矩阵有相同的特征多项式，问这个命题的逆命题成立吗？若不成立，请举一个反例. 解:不成立.例如:尽管有,但A与 B不相似(否则B=A). 13. 设矩阵A与B相似，其中 A＝， B＝. 求a与b的值. 解: a＝0,b＝-2. 14. 设A, B, T都是复数域上的n阶方阵, 且T是可逆矩阵. 证明, 若T ?1AT= B, 则对任意的正整数m, 有T ?1AmT= Bm. 证明: B＝(T ?1AT)(T ?1AT)= T ?1AT B＝BB =( T ?1AT)( T ?1AT)= T ?1AT ……………………. B＝T ?1AT. 15. 设A, B都是F上的n阶对称矩阵，证明，AB是对称矩阵当且仅当AB＝BA. 证明：必要性：设对称，则． 充分性：设，则． 16. 方阵A称为斜对称的，如果AT＝?A. 证明，实斜对称矩阵的特征根为零或纯虚数. 证明：设是的任一特征根，则存在复数域上ｎ维列向量，使得．设，其中均为复数且不全为零．用的转置矩阵左乘以上式的两边，得．由于，所以由转置矩阵的性质可得 所以，而．因此，即是零或纯虚数． 17. 设矩阵A与B合同. 证明，秩A＝秩B. 证明：若与合同，则存在可逆矩阵使得，所以秩＝秩＝秩． 18. 设可逆实方阵A与B合同. 证明，detA与detB的符号相同. 证明：设实方阵与合同，则存在可逆实方阵使得，因此，因为，所以与同正，同负或同时为零． 19. 用合同变换化下列矩阵为对角形. (1) ， (2) . 解：（１）．；（２）．；　（答案不唯一） 20. 用非退化的线性替换化下列二次型为标准形 （1）?4x1x2＋2x1x3＋2x2x3; （2）x12?3x22?2 x1x2＋2x1x3 ?6x2x3. 解：（1）．经非退化的线形替换，得标准形：． （2）．经非退化的线形替换，得标准形：．（答案不唯一） 21.设n阶实对称矩阵A是正定的, P是n阶实可逆矩阵.证明, PTAP也是正定矩阵. 证明：因为正定，所以存在可逆的阶实矩阵，使得，因此，而是可逆的实矩阵，故正定．