三章 阶线性微分方程组 三 阶线性非齐次方程组的般理论.docVIP

陇东学院数学系常微分方程精品课程教案 PAGE  PAGE 5 教案编写人:李相锋 李万军 第三讲?一阶线性非齐次微分方程组的一般理论（2课时） 目的与要求: 理解一阶线性非齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性非齐次方程组的通解结构, 理解常数变易法. 二、重点：一阶线性非齐次方程组的通解结构, 常数变易法. 三、难点：常数变易法. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： ?1. 课题引入 本节研究一阶线性非齐次方程组 (3.7) 的通解结构与常数变易法. 2. 通解结构 定理3.8 如果是线性非齐次方程组(3.7)的解，而是其对应齐次方程组(3.8)的解，则是非齐次方程组(3.7)的解. ?证明 这只要直接代入验证即可. 定理3.9 线性非齐次方程组(3.7)的任意???个解之差是其对应齐次方程组(3.8)的解. 证明 设和是非齐方程组(3.7)的任意两个解，即有等式 ??????????????? ， ?于是有 ??????????????????? 上式说明是齐次方程组(3.8)的解. ?定理3.10 线性非齐次方程组(3.7)的通解等于其对应的齐次方程组(3.8)的通解与方程组(3.7)的一个特解之和. 即若是非齐次方程组(3.7)的一个特解，是对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组，则方程组(3.7)的通解为??????????????????? 这里是任意常数. 证明 首先由定理3.8，不论是什么常数，(3.16)都是(3.7)的解. 其次对于方程组(3.7)的任何一个解，由定理3.9知，是对应齐次方程组的解. 于是由基 本定理3.6，存在常数使得 即 所以(3.16)是(3.7)的通解. 定理证毕. ????3. 拉格朗日常数变易法 在第一章我们介绍了对于一阶线性非齐次方程，可用常数变易法求其通解. 现在，对于线性非齐次方程组，自然要问，是否也有常数变易法求其通解呢?事实上，定理3.10告诉我们，为了求解非齐次方程组(3.7)，只需求出它的一个特解和对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组. 而当(3.8)的基本解组已知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可以求得(3.7)的一个特解. 为了计算简洁，我们定义(3.8)的基本解矩阵如下： 其中每一列均为(3.8)的解，且是(3.8)的一个基本解组. 因此. 由定理3.6知，齐次方程组(3.8)的通解可表为 ?, 其中C为列向量 它的各个分量为任意常数. 现在求(3.7)的形如 ????????????????? ???????? ??????????????????(3.17) 的解，其中 为待定向量函数. 将(3.17)代入(3.7)有 其中 因为是(3.8)的基本解矩阵，所以有. 从而，上式变为 ????????????????????????? ?? ????????????????? (3.18) 由于是非奇异矩阵，故存在，于是? 积分得??????????????????? 为中任一点代入(3.17)得到 显然是(3.7)的一个特解，于是得到非齐次方程组(3.7)的通解公式 ? ????? ????? (3.19) 例1 求解方程组 解 由3.3节例4知，向量函数组 ???????????????????? 是对应齐次方程组的基本解组.现在求非齐次方程组形如 ???????????????????? 的特解，此时(3.18)的纯量形式为 解之得 ? 从而 ???????????? 最后可得该方程组的通解为 本讲要点： 非齐次通解=对应齐次通解+非齐次一个特解 常数变易法适用于： ????先求出齐次通解, 再令为非齐次特解代入原方程确定.