三章中值定理与导数的应用部分作业答案.docVIP

PAGE  PAGE 31 第三章中值定理与导数的应用 部分作业答案 习题31（P156） 3、证明：不管取何值，方程在区间上至多有一个实根。 证：（反证）设，为方程在区间上的两个不相等的实根， 令，则在上连续，在内可导，且 ，据罗尔定理，知：至少存在一个，使得 ，但这与相矛盾,所以不管取何值，方程 在区间上至多有一个实根. 6、证明不等式： （2） 证：令，则在或上连续，且在或内可导， 于是据拉格朗日定理，知：，其中介于与之间， 即，从而 。 习题32（P162） 1、求下列极限 （1）； （2）； （3）； （4） 解：； （5） ； （6） （7） ； （8） ； （9）； （10）； （11）； （12） 。 习题34（P177） 3、确定下列函数的单调区间： （1） 解：定义域为， ， 令，得驻点：，； 列表讨论： 00 故函数的单调递增区间有：和； 单调递减区间有：。 （2） 解：定义域为， ， 令，得驻点：，（舍去）； 列表讨论： 0 故函数的单调递增区间有：； 单调递减区间有：. 4、证明下列不等式： （1）当时， 解：令，则在上连续，在内可导， 且当时， ， 于是在上单调递增，从而， 即当时，； （2）当时， 解：令，则在上连续，在内可导， 且当时， ， 于是在上单调递增，从而当时，，即。 7、求下列曲线的拐点及凹凸区间： （1） 解：定义域为， ， 令，得：； 列表讨论： 0拐点（，） 故函数的凸区间有：，凹区间有： 拐点有：（，）。 （2）（1） 解：定义域为， ， 令，得：，； 列表讨论： 00拐点 （，）拐点 （，） 故函数的凸区间有：和； 凹区间有：； 拐点有：（，）和（，）。 习题35（P190） 1、求下列函数的极值： （1） 解：定义域为， ， 令，得驻点：，； 列表讨论： 00极大值 极小值  故函数有极大值，有极小值。 （3） 解：定义域为， ， 令，得驻点：，，； 列表讨论： 0000极大值 极小值 极小值  故函数有极大值，有极小值。 （5） 解：定义域为， ， 于是没有驻点，但有不可导点：； 列表讨论： 0极大值 故函数有极大值。 （7） 解：定义域为， ， 令，得驻点：； 列表讨论： 0极大值  故函数有极大值。 3、试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值，并求此极值： 解：因，于是在处取得极值必须： ，即。 当时，，于是 ， 故当时，在处取得极大值 。 4、求下列函数的最大值、最小值： （1） 解：， 令，得驻点：，； 比较，，，，知： 在上的最大值为，最小值为。 （2） 解：， 令，得驻点：；不可导点为； 比较，???，知： 在上的最大值为，最小值为。 7、某车间靠墙壁要盖一间面积为64㎡的长方形小屋，而现有存砖只能够砌24m长的墙壁， 问这些存砖是否足够围成小屋？ 解：设小屋的宽为m，则长方形小屋的长为m，于是应砌墙壁的总长为 ，其中。 因，令，得唯一驻点：。 又，于是是在内的唯一极小值，从而在内的最小值为 ， 故这些存砖足够围成小屋。 8、要造一圆柱形油罐，体积为，问底半径和高等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？ 解：设圆柱形油罐的表面积， 因，令，得唯一驻点：。 又， 于是是的唯一极小值，从而的最小值为 ， 故当底半径和高时，才能使表面积最小。 且底直径与高的比是。