三章 维随机变量及其分布.docVIP

2009智轩考研数学创高分红宝书系列概率论与数理统计 PAGE  PAGE 598 第三章 二维随机变量及其分布 2008年考试内容 多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布 2008年考试要求 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率。 理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N（的概率密度，理解其中参数的概率意义。 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。 本章构架 本章的核心内容是离散三分布（联合、边缘和条件）；连续三密度（联合、边缘和 条件）；均匀与正态。介绍了作者原创的三个秘技（直角分割法、平移法和旋转法） 求分布问题。本章是教育部关于概率论大题命题的重点。 一、二维随机变量（向量）的分布函数 1.1 二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义 是二维随机变量，对任意实数和，称 为的分布函数，又称联合分布函数。 ●具有一维随机变量分布类似的性质。 ① ； ② 对和都是单调非减的，如； ③ 对和都是右连续； ④ ●几何意义：表示在的函数值就是随机点在左侧和下方的无穷矩形内的概率。对有限矩形域有： 1.2 二维离散型随机变量的联合分布律 设的一切可能取值为…，且取各对可能值的概率为 ， 则称为联合分布律。 设事件，根据全概率公式有 所以我们定义： 及 分别称为，的边缘分布律。 评 注 已知联合分布，可求出全部边缘分布，反之不然。如已知 反之则却确定不了，还必须另给条件。 【例1】根据下表求 及 和。 X Y 12310.10.302000.230.10.10400.20解： （边缘分布）； （边缘分布）。 1.3 二维连续型随机变量的联合概率密度 1.3.1 联合分布函数与联合概率密度 连续型联合分布函数： 区域按照陈氏直角分割法确定。 且有 联合概率密度: 1.3.2 边缘分布的概率密度 评 注 二维连续型的两个分量还是连续型，但两个分量都是连续型的随机变量的二维随机变量却不一定是连续型，即可能成为既非连续型，又非离散型。 【例2】已知二维随机变量，求边缘分布概率密度。 解： 由于 令 同理，可见二维正态分布的两个边缘分布仍然是正态分布。 1.3.3 三分三密 决定随机变量的相互独立性 二元分布有联合、边缘和条件形式共三种分分布函数和三种密度函数，简称：三分三密。 ● 一般型： 任意的联合分布函数满足 时，称相互独立。 注意，可以证明，这个定义与前面的用事件的概率来定义事件之间的独立性是完全等价的。 ★ 二维离散型： 相互独立的充要条件是 ★ 二维连续型： 相互独立的充要条件是 如果在规则区域，如矩形区间等，具有分离变量形式，即，则一定相互独立。 如中就一定不独立。注意。 如，存在不规则区间，故不独立。 如果上述两个条件一个都不满足，则一般不独立。 ● 二维正态型和随机变量只取二值型：相互独立的充要条件是 相关系数，即不相关。 如果，且相互独立，则 ● 设随机向量和及满足 则称与相互独立；此时， 与必相互独立；并且，任意函数分布与也相互独立， ● 如随机变量相互独立，则随机变量的函数与必相互独立，但 与却不一定独立。。 ● 设随机变量相互独立，它们的联合分布函数为，则 ● 相互独立，如的联合密度函数为 ，则 形象记忆掌握法： 这个公式特别有规律，在形式上，只要从中解出代换 中的， 或者从中解出代换中的即可。 ● 4类可加性分布（其余分布不可加） ★相互独立，，则 ★相互独立，， 则 但泊松分布不存在线性性，即不再是泊松分布。 ★相互独立，，则 如果不独立，则。 ★相互独立，，则 ` 模球模型 在有若干个红球和黑球的箱中逐次随机取一球，令，则 不管放回与否，和同分布，但放回抽样时和独立，不放回抽样时和不独立。 1.4．离散