三章微分中值定理导数的应用.docVIP

第三章微分中值定理导数的应用 教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 握用洛必达法则求未定式极限的方法。 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 了解方程近似解的二分法及切线法。 一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 罗尔定理 如满足： （1）在连续. （2）在可导. （3） 则至少存在一点 使 例 设，则 在区间（-1，0）内，方程 有2个实根；在（-1，1）内有2个根 例 设在[0，1]可导，且， 证明存在，使。 证： 设在[a,b]可导， ∴ 存在使 即 例 设在[0，1]可导，且, 证明存在 。 解: 设，且 由罗尔定理 存在 使 即， 亦即 例 习题6 设（复合函数求导） 拉格朗日中值定理 如满足： = 1 \* GB3 ①在[a,b]连续； = 2 \* GB3 ②在（a,b）连续， 则存在 使。 推论： = 1 \* GB2 ⑴ 如果在区间I上，则  = 2 \* GB2 ⑵ 如果在区间I上， 在Ｉ单增（减） 例　对任意满足的x， 都有 设 ∵ ∴ ∵ ∴ 例 设，证明 求导证明 作业：见各章节课后习题。 二、洛必达法则 未定形： 如下的函数极限都是未定形。 1、型： 如：型： 2、型： 如： 3、型： 如： 4、型：如： 5、 型： 如： 6、 型： 如： 7、 型： 如： 它们的计算不能用函数极限的四则运算法则， 且它们只表示类型，没有具体意义。 1、 （）型的洛必达法则(同理) 定理：对函数和，如果： （1）, （2）在某个邻域内（后）有导数 和，且； （3）存在（或无穷），则成立： = 例：1) 2) 3) 例： 1) 2) 3) (0) 3、其它类型 1) 2) 3) 4) 解法同3） 例 ： 1) 2) 3) 4) 三、泰勒公式 一、多项式： 在点的各阶导数： 得： 二、泰勒中值定理： 如果函数在含有的某个开区间有直到阶的导数，则对任一有： 1、（N阶泰勒公式） 称为余项。 （1）（ 在与之间） 拉格朗日型余项 （2） 皮亚诺余项。 2、当得麦克劳林公式： 三、常见函数的泰勒展开 1) 2) 3) 四、函数的性态 1、极值 1）定义：如在邻域内，恒有， ，则称为函数的一个极大（小）值。 可能极值点， 不存在的点与的点。（驻点） 驻点 ←极值点 2）判别方法 ⅰ、导数变号。 极小值 极大值 ⅱ、， 设满足关系式，且, ，则在点处 A A、取得极大值 B、取得最小值 C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减 例2．已知函数对一切满足 如，，则 A 是的极小值 B、是的极大值 C、是曲线的拐点 D、不是的极值，也不是曲线 的拐点。 设函数在的某邻域内可导，， ，则是的极 大 值。 2、函数的最大值与最小值 （1）求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。 （2）在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。 （3）如分别为最小, 最大值。 （4）实际问题据题意可不判别。 在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。 解：设切点为，切线方程为 即 ∴ 三角形面积： ， 令 （唯一） ∴ 故 为所求点 3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在I上可导 如则曲线是凹（凸）的, 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 可能的拐点 和 不存在的点 设，试讨论的性态。 x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+ ∞)y’+0-间 断+0+y’’----0+y 单调增 上凸极大值  单减