三章测度论.docVIP

安庆师范学院数学与计算科学学院《实变函数》电子教案 第 PAGE 12页（共12页） 第三章 测 度 论（总授课时数 14学时） 教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集 本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较. §1、外测度 教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质. 2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法. 本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 一、引言 (1) Riemann积分回顾（分割定义域） ，， 积分与分割、介点集的取法无关。 几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。 （2）新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） 记，，则 问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和 上积分（外包）（达布上和的极限） 下积分（内填）达布下和的极限 二、Lebesgue外测度(外包) 1．定义：设 ，称非负广义实数 为开区间} 为的Lebesgue外测度。 下确界： （1）是数集的下界，即， （2）是数集的最大下界，即使得 为开区间} 开区间列使得且 即：用一开区间列“近似”替换集合 例1 设是中的全体有理数，试证明的外测度为0. 证明：由于为可数集，故不妨令 作开区间 则且 ， 从而 ，再由的任意性知 思考： １. 设是平面上的有理点全体，则的外测度为0 提示：找一列包含有理点集的开区间 2.平面上的轴的外测度为0 提示：找一列包含轴的开区间 3. 对Lebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖（除可数个点外）. 注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor集的余集的构成区间） 2．Lebesgue外测度的性质 （1）非负性：，当为空集时， （2）单调性：若则 证明:能覆盖的开区间列也一定能覆盖，从而能覆盖的开区间列比能覆盖的开区间列要少，相应的下确界反而大。 （3）次可数可加性 证明：对任意的,由外测度的定义知，对每个都有 一列开区间（即用一开区间列???似替换）使得且 从而，且 可见 由的任意性，即得 注：（1）一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界 （2）外测度的次可数可加性的等号即使不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:若则 当区间的直径很小时候，区间不可能同时含有，中的点从而把区间列分成两部分，一部分含有中的点，一部分含有中的点. 例2 对任意区间，有. 思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？ 此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广 例3 Cantor集的外测度为0. 证明：令第次等分后留下的闭区间为 从而 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集. —————————————————————————————— 作业：P75 1, 2 练习题 1 如果将外测度的定义改为“有界集的外测度是包含的闭集的测度的下确界.”是否合理？ 2 设，问在什么条件下有 3 对于有界集，是否必有？ 4设是直线上的一有界集，，则对任意小于的正数，恒有子集，使 §2 可测集合 教学目的1、深刻理解可测集的定义，学会用Caratheodory条件验证集合的可测性. 2、掌握并能运用可测集的性质. 本节要点 学会用Caratheodory条件验证集合的可测性. 本节难点 用Caratheodory条件验证集合的可测性. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— Lebesgue外测度(外包) 且为开区间} 开区间列使得且 即：用一开区间列“近似”替换集合 次可数可加性(即使两两不交) 一、可测集的定义 若有（Caratheodory条件），则称为Lebesgue可测集，此时的外测度称为的测度，记作. 注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法. 例1：零集必为可测集 证明：，有 从而即为可测集。 二、Lebesgue可测集的性质 （1）集合可测（即 证明：(充分性） ， (必要性)令 （2）若 可测，则下述集合也可测 即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭； 若则，有 注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得 若两两不交，则（测度的可数可加性） 若可测，则有可减性 证明：由可测集的定义：有 易知可测 若可测已证明，则易知，也可测。