三章：元函数积分学(下).docVIP

PAGE  PAGE 196 分析：如果构造函数，想用零点定理证明该结论，由于只能得到 ，无法证明在区间的端点处函数值异号，故应选择用罗尔定理证明．利用罗尔定理证明困难在于找辅助函数，只要注意到，辅助函数便可以得到了． 证明：令，则 在区间上连续，在区间（0，1）内可导，且，所以根据罗尔定理可得：至少存在一点，使得，即． 所以存在，使得在上以为高的矩形面积，等于在区间上以为曲边的曲边梯形的面积． Ⅳ 已知被积函数有高阶导数，且最高阶导数连续的积分等式的证明 此种类型的积分等式一般用泰勒公式证明．解题一般思路：①对变上限定积分 在适当的点（由已知条件或所证结论的形式来确定）泰勒展开；②令展开式中的变量分别取积分等式中的积分的上下限，得到两个关系式；③对上述关系式进行适当的运算推出所证结论． [例3.2.32] 设在上具有连续的二阶导数，试证在内存在一点，使得 ． 分析：由于被积函数具有连续的二阶导数，所以在上具有三阶导数，于是将展开成二阶泰勒公式，根据结论的特点，应将在处展开． 证明：将函数在点处展开为二阶泰勒公式，则 即 上式中令分别取得 （1） （2） （2）减（1）得 由于在上具有连续的二阶导数，所以在内存在一点，使得 从而 ． [例3.2.33] 设在上有二阶连续导数，且．证明在内至少存在一点，使得． 分析：注意到所证等式中积分上、下限的特点，令，而由，可得，故应将在处展开成泰勒公式． 证明：令，将在展开为二阶泰勒公式 注意：， 所以 ，即 上式中令得 ， 即 由于上有二阶连续导数，所以存在，使得 ， 故在内至少存在一点，使得． Ⅴ 其它 [例3.2.34] 设在上连续，分别是在上的最大值和最小值．证明至少存在一点，使． 证明：令 则在上连续，而 若，则取； 若，则取； 若，则由零点定理可得，存在使得 综上至少存在一点，使． [3.2.35] 设在上连续，且．证明至少存在一点，使得 ． 分析：由于，从而欲证结论中出现“”，故可考虑使用柯西中??定理． 证明：令． 由已知条件可知，在上满足柯西中值定理的条件，由柯西中值定理可得：至少存在一点，使得 ，即． 五、积分不等式的证明 Ⅰ 已知被积函数连续，且单调的积分不等式的证明 此类型的积分不等式一般用单调性来完成．解题的一般思路：①构造辅助函数 （构造辅助函数的一般方法：⑴将所证不等式中的定积分的上限换成，不等式中相应的字母也换成；⑵移项使不等式的一端为零，则另一端的表达式即为所构造的辅助函数）；②用单调性判定定理判定的单调性；③求辅助函数在积分区间某个端点的函数值，从而推出所证不等式． [例3.2.36] 设单减非负函数在上连续，，证明 ． 证明：令 则 由于是单减非负函数，所以，即，故在上单增，又因为，所以，即 ． [例3.2.37] 设在上连续，证明 证明：令 则 所以在上单调不减． 又因为，所以，故． 评注：对仅知被积函数连续而不知是否可导的积分不等式一般也用单调性来完成．Ⅱ 已知被积函数可导，且在积分区间的某个端点上的函数值为零的积分不等式的证明 此类题一般用拉格朗日中值定理来完成．解题的一般思路：①将被积函数写成改变量的形式（利用已知函数值为零的点）；②利用拉格朗日中值定理将改变量与被积函数在某点的导数建立关系；③利用导数的取值范围推出所证不等式． [例3.2.38] 设在 [a ,b]上连续，在内可导，且，,试证 ． 证明：由于 所以． [例3.2.39] 设一阶导数在上连续，，求证 分析：由于已知被积函数在积分区间的左、右端点的函数值都为零，所以没法确定将被积函数式是改写成还是的形式，为解决这一难题不妨利用积分的性质把定积分表示成两个积分的和． 证明：由于对于，则 所以 所以， 不难看出，上面结论中令，即得所证明的结论． Ⅲ 已知被积函数有高阶导数，且给出了最高阶导数的取值范围的积分不等式的证明 此类型的积分不等式一般用泰勒公式来证明．解题的一般思路：①将被积函数在适当点（需由已知条件或所证结论形式确定）展开成（为最高