三线性方程组的解--.docVIP

PAGE  PAGE 19 第三节 线性方程组的解 教学目的：掌握线性方程组的解的相关定理，能用初等变换法灵活正确 求出方程组的解.讨论解的情况. 教学重点：掌握线性方程组的解的定理，灵活运用初等变换解线性方程 组. 教学方法：讲授法 教学过程： 本节中始终假设矩阵,. 引例 解线性方程组,实际上只对方程组的系数和常数进行运算,未知变 量并未参与运算,因此,将方程组的消元运算移植到矩阵中,就是对矩阵 进行三种初等行变换.下面对照消元法用初等变换解线性方程组. 例1 求解线性方程组 解： 方程组的解为 为任意常数. 上述矩阵称为下列线性方程组的增广矩阵 结论：消元法解线性方程组的过程实质是对其增广矩阵进行初等行变 换的过程. 上述过程即为 然后回代， 从而得到方程组的一般解为： 这里称为自由未知量. 通解 其中为自由未知量. 一、非齐次线性方程组解的情况 1.线性方程组一般形式 【上述线性方程组当不全为零时称为非齐次线性方程组】 2. 线性方程组矩阵形式: 其中: ,,. 例2 求解线性方程组 解 由于, 所以有唯一解. 例3 求解线性方程组 解 由于, 所以无解. 3.方程组的解集──的全体解组成的集合,即 . 【定理3.3,3.5】设为元线性方程组, 其中矩阵为系数矩阵， 称为的增广矩阵. 则 （1）无解 . （2）有惟一解. （3）有无穷多组解. 【（2）,(3)合起来 有解.】 设， 可化为 即 的行最简形为 由的最简形可知上述定理必要性成立， 若，则的行对应一个矛盾方程，即（1）成立.若， 则对应方程组方程组有唯一解. 若，则对应方程组 令自由未知量 得到方程含有个参数的解 由于参数可以任意取值，故方程有无限多个解.此为无穷多解时方程组 的通解. 例4求解方程组： 解 由于,所以方程组有无穷多组解.且自由未知量个数为 方程组的一般解为 （，为自由未知量） 的通解为： ， 其中: 为任意常数. （通解的求法） 令 ,则得的特解为：, 又令分别为得对应齐次方程组的基础解系为： , 所以 的通解为： ，其中: 为任意常数. 练习：求解方程组： 解 , 由于,所以方程组有无穷多组解.且自由未知量个 数为 方程组的一般解为 （为自由未知量） 令 ,则得的特解为：, 又令分别为得对应齐次方程组的基础解系为： , 所以 的通解为： ，其中: 为任意常数. 例5 为何值时,下面方程组有唯一解、无穷解、无解? 解 , 若且,由于, 所以,当且时,方程组有唯一解,其解为 ； ②若 即,, 由于,此时方程组有 个自由未知量且同解方程组为, 所以,当时,方程组有无穷解, 其一般解为 通解为 ；其中,是任意常数. ③若,即, 由于,所以,当时,方程组无解. 注意：在解含有参数的线性方程组时，不要随便除以参数的代数式，以免改变解的类型。此时应顺其自然进行讨论。 例6 为何值时,下面方程组有唯一解、无穷解、无解? 解 , 若且,由于, 此时,方程 组有唯一解, 其解为 ； 若时,方程组无解；此时 . ③若,此时, 由于,此时方程组有 个自由未知量且同解方程组为, 所以,当时,方程组有无穷解, 其一般解为（为任一常数） 方程组的通解为 . 解法二 因系数矩阵为方阵，也可以借助克莱姆法则求解. . 1）当且时,方程组有唯一解 . 2）当时, ，方程组无解. 3）时，， ，方程组有无穷多解. 通解为 . 5.【定理6】 矩阵方程 有解的充要条件是 . 证 设为矩阵，为矩阵，则为矩阵.将和按 列分块记作 ， 则矩阵方程有解有解 个方程有解. 先证充分性 设，由于， 所以有，从而 个向量方程都有解，于是矩阵方程有解. 再证必要性 设矩阵方程有解，从而个向量方程 都有解， 设解为， 记 ，即有， 对矩阵作初等列变换 ，则有 . 综上所述 已知结论成立. 解矩阵方程 的方法：可逆时，用求. 解矩阵方程 的方法：可逆时，用求. 6.【定理7】 设,则. 证 因，所以矩阵方程 有解. 根据定理6知 . 而 ， 因此 . 又，所以 即， 故 . 二、齐次线性方程组有解的条件 1.齐次线性方程组 2. 矩阵形式: 其中: ,. 3.方程组的解集──的全体解组成的集合,即 . 显然 ,故 非空. 4.【定理4】: 设为元齐次线性方程组,则 (1) 有非零解. 证明: 充分性“”由于, 有无穷多组解,当然有非0解. 必要性“”显然有零解；若有非0解, 那么的解不唯一,于是. (2) 若,则有非零解. (方程的个数 未知量的个数) 证明: 非零解.