三角函数章 任意角的三角函数.docVIP

RD辅导 Feel good Feel dream Feel hope 心存美好 心存梦想 心存希望 PAGE  PAGE - 12 - 主题二 三角函数 第二章 任意角的三角函数 复习结构图 任意角的三角函数 三角函数的定义 单位圆与三角函数线 同角三角函数的基本关系式 三角函数在各象限的符号 正弦线 余弦线 正切线 角与的三角函数间的关系 角与的三角函数间的关系 角与的三角函数间的关系 角与的三角函数间的关系 诱导公式 一、三角函数的定义 1、任意角的三角函数的定义 设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，如图，那么 （1）比值叫做的正弦，记作，即； （2）比值叫做的余弦，记作，即； （3）比值叫做的正切，记作，即； 有时我们还用到下列三个函数 （4）角的正割：； （5）角的余割：； （6）角的余切：。 这就是说，分别是的余弦、正弦、???切的倒数。 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。我们重点研究正弦函数、余弦函数、正切函数。 例1：已知角的终边经过点，求的六个三角函数值。 例2：已知角的终边落在直线上，求的值。 2、三角函数的定义域 三角函数定义域例：求函数的定义域 3、三角函数值在各象限的符号 三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦，正、余割同余、正弦”，即：第一象限正弦、余弦、正切、余切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切、余切为正；第四象限余弦为正；正割、余割的符号与余弦、正弦的符号相同。 例1：填空： （1）如果，且，则是第 象限的角； （2）如果，且，则是第 象限的角； （3）如果，且，则是第 象限的角； （4）如果，且，则是第 象限的角； 例2：的值（ ） A、小于0 B、大于0 C、等于0 D、不存在 二、单位圆与三角函数线 一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆。设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与轴的交点分别为，而与轴的交点分别为。 设角的顶点在圆心，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点，过点作垂直轴于，作垂直于轴于点，则点，分别是点在轴、轴上的正射影（简称射影）。由三角函数的定义可知，点的坐标为，即。其中。 这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。 以为原点建立轴与轴同向，轴与的终边（或其反向延长线）相交于点（或），则（或）。我们把轴上向量，和（或）分别叫做的余弦线、正弦线和正切线。 当角的终边在轴上时，点与点重合，点与点重合，此时正切线和正弦线都变成了一点，他们的数量为零，而余弦线或。 当角的终边在轴上时，正弦线或，余弦线变成一点，它表示的数量为零，正切线不存在。 例1：在直角坐标系中，作出角的正弦线、余弦线、正切线。 例2：已知角，且，请利用三角函数线比较的大小。 例3：在单位圆中画出适合下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合 （1）； （2）。 三、同角三角函数的基本关系式 两个最基本的关系式 1、同角三角函数的平方关系 ，称为同角三角函数的平方关系。 其变形形式有：，，其他平方关系有， “1”的代换：根据解题的需要有时可以将1用代替 2、同角三角函数的商数关系和倒数关系 ，称为同角三角函数的商数关系。 其变形形式有，，其它商数关系有。 切割化弦：利用商数关系把切割化为正弦和余弦，减少函数名称，从而统一变量。 ，，，称为同角三角函数的倒数关系。 例1：①化简 ②，且是第二象限角，则的值为 。 ③已知，则 ， 。 ④已知，且是第二象限角，求角的正弦值和余弦值。 ⑤已知，，求的值。 例2：已知，求下列各式的值 ①； ②； ③； ④ 例3：已知，求下列各式的值 （1） （2） （3） （4） 例4：，且，求的值 例5：已知，，求的值。 总结：在三角函数变换求值中，已知，，中的任何一个，都可利用方程的思想求出另外两个的值。解题时，要特别注意开方后正负的取舍，这要根据已知条件确定和的大小关系及其正负。 四.诱导公式 常用知识补充： （1）终边与角的终边关于原点对称的角可以表示为。 （2）终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为（或）； 终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为。 （3）终边与角的终边关于直线对称的角可以表示为。 1、角与的三角函数间的关系 在直角坐标系中，与的终边相同，根据三角函数的定义，终边相同的