三轮考前体系通关-d.docVIP

[大题押题练　C组] (建议用时：80分钟) 1．已知函数f(x)＝eq \r(3)sin xcos x＋cos 2x－eq \f(1,2)，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝1. (1)求角B的大小； (2)若a＝eq \r(3)，b＝1，求c的值． 解　(1)因为f(x)＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cos 2x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以f(B)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,6)))＝1，又eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(13,6)π))，所以2B＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，所以B＝eq \f(π,6). (2)法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得c2－3c＋2＝0，所以c＝1，或c＝2. 法二　由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得sin A＝eq \f(\r(3),2)，所以A＝eq \f(π,3)或A＝eq \f(2π,3)，当A＝eq \f(π,3)时，C＝eq \f(π,2)，所以c＝2； 当A＝eq \f(2π,3)时，C＝eq \f(π,6)，所以c＝1. 2．一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球． (1)求取出的3个球编号都不相同的概率； (2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望． 解　记“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则P(B)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq \f(28,84)＝eq \f(1,3)，∴P(A)＝1－P(B)＝eq \f(2,3). (2)X的取值为1,2,3,4 P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,7)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq \f(49,84)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,5)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,5),C\o\al(3,9))＝eq \f(25,84)， P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(1,2)·C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,3),C\o\al(3,9))＝eq \f(9,84)，P(X＝4)＝eq \f(1,C\o\al(3,9))＝eq \f(1,84). 所以X的分布列为 X1234Peq \f(49,84)eq \f(25,84)eq \f(9,84)eq \f(1,84)E(X)＝1×eq \f(49,84)＋2×eq \f(25,84)＋3×eq \f(9,84)＋4×eq \f(1,84)＝eq \f(130,84)＝eq \f(65,42). 3．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋p·3n(n∈N*，p为常数)，a1，a2＋6，a3成等差数列． (1)求p的值及数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝eq \f(n2,an)，证明：bn≤eq \f(4,9). (1)解　由a1＝3，an＋1＝an＋p·3n，得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p. ∵a1，a2＋6，a3成等差数列，∴a1＋a3＝2(a2＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得p＝2. 依题意知，an＋1＝an＋2×3n， 当n≥2时，a2－a1＝2×31，a3－a2＝2×32，…，an－an－1＝2×3n－1. 等号两边分别相加得an－a1＝2(31＋32＋…＋3n－1)＝2×eq \f(3×?1－3n－1?,1－3)＝3n－3， ∴an－a1＝3n－3，∴an＝3n(n≥2)． 又a1＝3适合上式，故an＝3n. (2)证明　∵an＝3n，∴bn＝eq \f(n2,3n). ∵bn＋1－bn＝eq \f(?n＋1?2,3