上数学章 课时 神秘的数组.docVIP

PAGE  PAGE 3 第3课时 神秘的数组 预学目标 1．熟记一些常见的勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25，并且知道勾股数的倍数仍是勾股数，如5，12，13同时扩大2倍后，10，24，26仍是勾股数． 2．初步了解定理：如果三角形的三边长a、6、c满足a2＋b2＝c2．那么这个三角形是直角三角形．尝试用它来判断一个已知三边长度的三角形是否是直角三角形． 3．知道判断直角三角形的方法有两种： (1)从角的方面考虑，有一个角是直角； (2)从边的方面考虑，三边a、b、c满足a2＋b2＝c2． 4．利用勾股数的倍数仍是勾股数这一结论，在运算中掌握一定的技巧以简化运算． 知识梳理 1．理解勾股数的倍数仍是勾股数 若a、b、c是一组勾股数，满足a2＋b2＝c2，将这三个数都扩大n倍，所得的3个数分别为na、nb、nc，则(na)2＋(nb)2＝_______＝n2( )＝_______，(nc)2＝_______，所以(na) 2＋(nb) 2＝(nc) 2，即na、nb、nc仍是一组勾股数． 2．利用a2＋b2＝c2判断直角三角形 在△ABC中，若AB2＋AC2＝BC2．则BC边所对的角∠______＝90°． 在△ABC中，若BC2＋AC2＝AB2，则______边所对的角∠______＝90°． 在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则______边所对的角∠______＝90°． 3．运用勾股定理简化运算的技巧 在△ABC中，∠C＝90°，∠A对的边是a，∠B对的边是b，∠C对的边是c． (1)若a＝60，c＝61，则b2＝C2－a2＝612－602＝(61＋60)×(61－60)＝______，即b＝_______． (2)若a＝10，b＝24，则c2＝a2＋b2＝102＋242＝22×(52＋122)＝22×132＝(2×13)2＝ 262，即c＝______． (3)若a＝2，b＝，则c2＝a2＋b2＝22＋()2＝()2×(______2＋______2)＝()2 ×52＝(×5)2＝()2，即c＝______． (4)若c＝13n，b＝5n，则a2＝(13n)2－(5n)2＝n2(132－52)＝n2·_______2＝( n)2，即a＝______． (5)若a：b＝5：12，c＝39，设a＝5x，b＝12x，可得c＝_______x，即______x＝39，则x＝______，a＝_______． 例题精讲 例1 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形． (1)a＝，b＝1，c＝； (2)a＝40 ，b＝50，c＝60； (3)a＝35，b＝12，c＝37． 提示：本题即判断三个数是否是勾股数，选取两条较短的边计算其平方和，再与最长的边的平方比较，若相等，则这个三角形是直角三角形，否则就不是直角三角形． 解答：(1)是； (2)不是； (3)是． 点评：若能理解知识梳理中的技巧，则可以加快解题的速度．(1)三个数同时乘4，得a＝5，b＝4，c＝3，显然是勾股数．(2)三个数同时除以10，得a＝4，b＝5，c＝6，显然a2＋b2≠c2，不是勾股数．(3)c2－a2＝372－352＝(37＋35)(37－35)＝72×2＝144＝b2，是勾股数． 例2　(1)若△ABC的三边长a、b、c满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状． (2)若△ABC的三边长a、b、c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状． 提示：利用因式分解、平方差公式和完全平方公式解题． 解答：(1) ∵a2c2－b2c2＝a4－b4， ∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)． ∴a2－b2＝0或c2＝a2＋b2． ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． (2) ∵a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c， ∴a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0， 即(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0． ∴a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0．∴a＝5，b＝12，c＝13． ∴a2＋b2＝c2．∴△ABC是直角三角形． 点评：解本题的关键是灵活运用乘法公式，根据三角形三边关系判断三角形的形状，在(1)的解答中要注意，第三步不能两边同时除以a2－b2，那样会丢失a2－