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不等式复习提纲 不等式复习提纲 第  PAGE 8 页  DATE \@ yyyy-M-d 2017-4-19 一、基本知识回顾： (一)实数的大小比较 ；；。 (二)不等式的性质 1. 对称性：；。 2. 传递性：；。 3. 可加性：；；即不等式的两边同加上一个数或一个代数式不等号的方向不变。 移项法则：；即不等式中的任何一项改变符号后，可以从不等式的一边移到另一边。 4. 可乘性：；；即不等式的两边都乘以一个正数不等号的方向不变；不等式的两边同乘以一个负数不等号的方向要改变。 5. 同向可加性：；；即同向不等式相加不等号的方向不变；切记：同向不等式只能相加不能相减。 6. 同向相乘性：；同向正数不等式相乘不等号的方向不变。 7. 可乘方性：（且）； 特别：当为大于1的奇数时。 8. 可开方性：（且）； 特别：当为大于1的奇数时。 9. 若，且 10. 若且，则；若且，则。 （三）二次三项式恒为正（负）的等价命题： 1. 二次三项式恒为正 2. 二次三项式恒为负 （四）一元二次方程解的情况： 1. 一元二次方程有两个正根， 2. 一元二次方程有两个负根， 3. 一元二次方程有一正根一负根， 4. 一元二次方程有一正根一负根且正根的绝对值较大， 5. 一元二次方程有一正根一负根且负根的绝对值较大， （五）不等式的解法： 1. 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b（a≠0）的形式.当a＞0时，解集为___________；当a＜0时，解集__ _______. 2. 分式不等式 分式不等式的等价变形：0f(x)·g(x)0；≥0 3. 二次问题及一元二次方程根的分布 ①二次问题要注意观察二次项系数，数形结合解决问题 ②一元二次方程根的分布 设是实系数一元二次方程f（x）=的两实根，根的分布情况 根的 分布y y y 两根有且仅有一个在（m1，m2）内 图 像 o o m x y o m x o m x o m2 m1 x y o m2 m1 x 充 要 条 件4. 一元二次不等式的解法 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象；要注意与一元二次方程的联系。 二次函数一元二次方程一元二次不等式一 般 式（a0）（a0）（a0）的解集（a0）的解集 图像与解 集 有两个不等实根 有两个相等实根 无实根（六）一元二次方程与和根的关系： 1. 若一元二次方程的两根分别为、（），则一元二次方程的两根分别为_____________； 2. 若一元二次方程的两根分别为、（），则一元二次方程的两根分别为_____________。 （七）基本不等式 定理1：如果，那么（当且仅当时取“”）。 说明：（1）指出定理适用范围：；（2）强调取“”的条件。 定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”） 说明：（1）这个定理适用的范围：；（2）我们称的算术平均数，称的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 （3）当为定值时，有最大值即≤，当且仅当时取等号。 （4）当为定值时，有最小值即≥，当且仅当时取等号。 （5）利用该定理求最值时要注意一正二定三取等。 （6）均值不等式链：（a，b均为正数，当且仅当时取等号） 定理3：如果，，，则（当且仅当时取等号） 定理4：如果，，，则（当且仅当时取等号）. 即：三个正数的算术平均数不小于这三个正数的几何平均数. （八）线性规划问题 1. 不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。 说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当时，通常把原点作为此特殊点。 2. 线性规划 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值和最小值的解，都叫做这个问题的最优解。 说明：解决线性规划问题首先要做好可行域，其次要充分利用目标函数的几何意义求解。 （九）绝对值不等式 1. 实数的绝对值的几何意义是_________________________________. 2. 的几何意