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学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话：020-- XL---JX001 广 州 学 乐 教 育 学生姓名 ______________ 就读年级 ______________ 授课日期 _______________ 教研院审核_______________ 9.1不等式的基本性质、解不等式 【考纲要求】 1、不等关系 　　了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 　　2、一元二次不等式 　　① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 　　② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 　　③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 【基础知识】 一、不等式的概念及基本性质 1、实数运算性质与大小顺序关系 （1） （2） （3） 2、不等式的基本性质 （1）对称性：a＞bb＜a (2)传递性：a＞b，b＞ca＞c (3)可加性a＞ba+c＞b+c (4)可乘性：ac＞bc；ac＜bc (5)可乘方性：a＞b≥0an＞bn（n∈N，n≥2） (6)可开方性：a＞b≥0＞（n∈N，n≥2） （7）叠加性：a＞b，c＞da+c＞b+d（不等式同向可加） （8）叠乘性：a＞b≥0，c＞d≥0a·c＞b·d（不等式同向为正可乘） 注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法 和乘法，如：求的范围可以转化成求的范围，求的范围可以转化成求的范围。 ②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。 3、实数大小的比较 实数大小的比较一般用差比和商比。 如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与0比→下结论。 如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与1比→下结论。 4、的含义 “”表示命题成立，命题一定成立。 “”表示命题成立，命题一定成立；命题成立，命题一定成立 二、一元一次不等式和一元二次不等式 1、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为的形式。 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为。 2、一元二次不等式的解法 解一元二次不等式最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想。 (1)二次不等式（）的解法 当时，不等式的解集是。简记为大于两边分，大于大根，小于小根。（见左图） 当时，不等式的解集是.（见中图） 当时，不等式的解集是。（见右图） （2）二次不等式（） 当时，不等式的解集是。简记为小于两边夹，大于小根，小于大根。 当时，不等式的解集是。 当时，不等式的解集是。 注意：当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的结论。 3、温馨提示 （1）不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数。 （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论。 （3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件。 （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性。 三、分式不等式和高次不等式 1、分式不等式的解法 把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式组→解不等式组得解集。 温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域。 2、高次整式不等式的解法（序轴标根法） 先把高次不等式分解因式化成的形式（的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集。 实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集。 四、绝对值不等式 1、解绝对值不等式 方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如的不等式，一般直接用公式 ，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴。 方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法。注意小分类求交大综合求并。 方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法。 2、绝对值三角不等式 绝对值三角不等式的运用主要体现在直接利用绝对值三角不等式证明不等式和求函数的最值。 【例题精讲】 例1 已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。 　　解：方法一： 　　显然 ，由 ，得 ，变形得 ，所以 　　方法二：　　 与 是方程 的两根， 　　故有 ，解得 （此处注意韦达定理的应用）。 　 例2 解关于 的不等式：