专题 平面向量及其运用.docVIP

专题七　平面向量及其运用 【考点聚焦】 考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积. 考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点3：解斜三角形. 考点4：线段的定比分点、平移公式. 考点5：向量的运用. 【自我检测】 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做向量； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做共线向量（平行向量）； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相等向量； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单位向量. 向量加法法则是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿.减法法则是＿＿＿＿＿＿＿＿. 设a＝（x1,y1），b＝（x2,y2），R a＋ b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. a－ b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. a＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. cos a, b=____________=__________________. a∥ b＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；a⊥ b＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿. 正弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 余弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 9、定比分点坐标公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（其中＝＿＿＿＿＿＿）. 10、平移公式是 ____________________. 【重点难点热点】 问题1：向量的有关概念与运算 此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件. 例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是　　　　　　　　　　. 思路分析：与a平行的单位向量e=± 方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知 ，故填 (,-)或(,-) 方法二　与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，故可得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a－(3,－1),便可得结果. 点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角是多少？ 思路分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性. 解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=. 要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值. ∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3， |y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7. x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b =7a·b－2a2－3b2 =7×－2－3=－， 又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ， ∴cosθ=－，θ=π－arccos.即x与y的夹角是π－arccos 点评：①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得=－=2a－b.由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=. 问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用 当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质. 例3．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ). (1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)； (2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间. 思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？ 解：（1）法一：由题意知x＝(,), y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y 故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0. 整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t. 法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ),