专题三 平面向量与复数.docVIP

PAGE  PAGE 13 第三讲 平面向量与复数 向量有关的概念及运算 例1、已知向量与的对应关系用表示。 （1）证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立； （2）设，求向量及的坐标； （3）求使，（p，q为常数）的向量的坐标 解析：（1）设，则，故 ， ∴ （2）由已知得=（1，1），=（0，－1） （3）设=（x，y），则， ∴y=p，x=2p－q，即=（2P－q，p）。 例2、已知非零向量与满足= 0且，则△ABC为_____________三角形。 解：由= 0，知角A的平分线垂直于BC，故△ABC为等腰三角形，即|AB| = |AC|；由， ∴= 600 . 所以△ABC为等边三角形。 例3、(1)已知, , 与的夹角为1200，求使与的夹角为锐角的实数k的取值范围. (2) 已知，，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 解：(1) == k + (k2 + 1)×1×2×cos1200 + 4k = – k2 + 5k –1 , 依题意，得 – k2 + 5k –1＞0，∴. 又当与同向时，仍有＞0，此时设，显然、不共线，所以，k =, k ==, 取k ==1. A B C M O N E ∴且k≠1 . 例4、如图，在△ABC中，点O是BC的 中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同 的两点M、N，若，，则 m + n =______. 解1：取特殊位置. 设M与B重合，N与C 重合，则m=n=1, 所以m+n=2. 解2：=，∵M、O、N三点共线，∴,∴m + n = 2. 解3：过点B作BE∥AC, 则，. 又，∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 . 二、向量与三角结合 例5、已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=|a－kb|，其中k0， （1）用k表示a·b; （2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。 解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得 |ka+b|2=(|a－kb|)2 k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b) ∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2 a·b = ∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)， ∴a2=1, b2=1, ∴a·b == （2）∵k2+1≥2k，即≥= ∴a·b的最小值为， 又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1 ∴=1×1×cos。 ∴=60°,此时a与b的夹角为60°。 例6、已知向量,且满足, 求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数; (3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角. 解:(1) , 故 (2) , 故. (3) ,此时当最小值为. ,量与向量的夹角 三、复数 例7、已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一???二次方程. [解法一] ，∴. 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根. ， 所求的一个一元二次方程可以是. [解法二] 设 ， 得 ， 以下解法同[解法一]. 例8、设z∈C，求满足z+∈R且|z－2|=2的复数z. 分析：设z=a+bi(a、b∈R)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程 解法一：设z=a+bi， 则z+=a+bi+=a+bi+ =a++(b－)i∈R ∴b=∴b=0或a2+b2=1 当b=0时，z=a， ∴|a－2|=2 ∴a=0或4 a=0不合题意舍去，∴z=4 当b≠0时，a2+b2=1 又∵|z－2|=2，∴(a－2)2+b2=4 解得a=，b=，∴z=±i 综上，z=4或z=±i 解法二：∵z+∈R， ∴z+ = + ∴(z－)－=0，(z－)·=0 ∴z=或|z|=1，下同解法一 第三讲 平面向量与复数 班级_____________姓名______________ 1、复数的共轭复数是 ________. 2、复数z＝i＋i2＋i3＋i4+……+i2008=__________. 3、若复数满足方程，则_______ . 4、已知复数z0=3+2i, 复数z满足zz0=3z+z0，则z= . 5、若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为___ ． 6、若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为_________. 7、已知，=3，和的夹角为，求当向量与的夹角为锐角时，的取值范围为_____________________. 8、已知O为原点，有点A（d