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高一下数学期末市统考复习专题·三角函数 杭州二中·2010 第 PAGE 9页 专题三 三角函数 编拟：章怡 一、知识点整理 1、象限角与轴线角：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角。第一、二、三、四象限角分别可表示为： 角终边在x轴的非负半轴上时可表示为：＝360°k,k∈Z, 角终边在y轴的非负半轴上时可表示为：＝360°k+90°,k∈Z,在x轴的非正方向上，在y轴的非正方向上可类似表示。 2、终边相同的角的表示： ，即任一与角终边相同的角，都可以表成角与整数个周角的和。任意两个终边相同的角之差必是360°的整数倍。相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。已知是第几象限的角，如何确定所在象限的角的常用方法有二：（1）分类讨论法，先根据的范围用整数k把的范围表示出来，再对k分n种情况讨论。（2）几何法：把各象限均先n等分，再从x轴的正方向的上方起，依次将各区域标上①、②、③、④，则原来是第几象限对应的标号即为的终边所在的区域。 3、角度制与弧度制的换算： 弧度制下的弧长与扇形面积计算公式： 注：在同一个代数式中弧度制与角度制不能同时出现。如：是错误的。 4、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，的终边与单位圆的交点P的坐标是，那么 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 5、象限角的三角函数符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦。 根据三角函数线分析各象限的区间内各三角函数的单调性：正弦一,四增，二、三减。余弦三、四增，一、二减。正切只有增区间，余切只有减区间。强调象限的区间内。 6、正弦函数、余弦函数的图象和性质： (1)五点法作图：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。常选取横坐标分别为0，的五点。 (2)正弦函数y=sinx是奇函数，对称中心是，对称轴是直线。 余弦函数y=cosx是偶函数，对称中心是，对称轴是直线。 (3)单调性：上单调递增，在单调递减。y=cosx在上单调递减，在上单调递增。 7、的图象： (1)振幅、周期、频率、相位、初相：函数，表示一个振动量时，A表示这个振动的振幅，往返一次所需的时间T＝，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数称为振动的频率，称为相位，x＝0时的相位叫初相。 (2)、函数＋K的图象与的图象的关系： 把的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0），　　　　y=sin（x+） 把的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，　　　　　 注意：此处初相不变。 把的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，　　　　　 把的图象横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（） 若由y=sin（x）得到y=sin（x+）的图象，则向左或向右平移个单位。 注意： 8、正切函数的性质： （1）定义域：.（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值. （3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期. (4）奇偶性：是奇函数，对称中心是，无对称轴。 （5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。 9．三角函数的值域的求法： （1）（或）型，利用，即可求解，此时必须注意字母的符号对最值的影响。 （2）型，引入辅助角　，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解。 （3）（或），型，可令（）, -1≤t≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。 （4）（或）型，解出（或）,利用去解；或用分离常数的方法去解决。 （5）y=（y=）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理. （6）对于含有的函数的最值问题，常用的方法是令,,将转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。 二、典型例题 例1.已知函数，． （I）设是函数图象的一条对称轴，求的值． （II）求函数的单调递增区间． 解：（I）由题设知． 因为是函数图象的一条对称轴，所以， 即（）． 所以． 当为偶数时，， 当为奇数时，． （II） ． 当，即（）时， 函数是增函数， 故函数的单调递增区间是（）． 例2.设函数f(x)=2在处取最小值. 求的值； 在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C. 解: （1） 因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以 （2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是, 因为,所以或. 当时,;当时,. 例3．