专题：分类讨论的思想-教师版-苏深强.docVIP

分类讨论的思想 【考情分析】 高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 【知识交汇】 分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得??整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”． 1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点 ⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点； ⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察； ⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧； ⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。 2. 分类讨论的思想的本质 分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略． 3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤 ⑴确定讨论对象和确定研究的全域； ⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）； ⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； ⑷归纳总结，整合得出结论． 4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有： ⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前项和公式等等； ⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等； ⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； ⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论； ⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法； ⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。 【思想方法】 一、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论 【例1】已知集合A={x｜x2–3x+2=0},B={x｜x2–ax+(a–1)=0}，C={x｜x2–mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为 ，m的取值范围为 . 【解析】：A={1,2},B={x｜(x–1)(x–1+a)=0},由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2；由A∩C=C，可知C={1}或.答案：2或3 3或（–2，2） 二、根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准 【例2】求和=　　　　　 【解析】：当时，； 　　　　 当时，此题为等比数列求和， 　　 　 ①　若时，则由求和公式，。 　　　 ②　若时, 。 　　　　　　　　综合可得　 【点评】：由于等比数列定义本身有条件限制，等比数列求和公式是分类给出的。因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论，这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念，分为和；第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件。 三、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论 【例3】若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值) 【解析】首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的. 排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积. 由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体. 对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以 VABCD=SΔBCM·AD. CM===.设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN===，从而SΔBCM=×2×=， 故VABCD=××1=. 对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=·， 不妨令a=b=2，c=1，则 V=·=·=. 四、问题中的条件是分类给出的 【例4】已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。 【解析】（1）若为偶数，