专题：向量与向量法.docVIP

专题七：向量与向量法 一．考点与回顾 1．平面向量是教材新增内容之一，其数形结合的特点使得它成为高中数学教学中继函数之后的第二条主线．向量是数学中重要概念之一．向量为解决数学、物理中的问题提供了新的工具. 2.有关平面向量的考查热点在两个方面：一是对向量基本概念、基本运算的考查；二是对向量的工具作用的考查，即运用向量知识解决平面几何、解析几何、三角函数等中的简单问题． 3.随着新教材的普遍使用，“向量”将会成为命题热点，一般选择、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律，解答题重在考查平面向量的综合应用，常与函数、三角函数、平面解析几何、立体几何、数列等知识结合起来考查．对本专题的复习应立足基础，强化运算，重视应用．数形结合思想在本专题中将得到淋漓尽致的体现． 4．在2007年全国各省市的高考试卷中，向量在各种题型中???有出现.选择题、填空题的形式主要考查向量的模、夹角、数量积以及向量间的关系等基础知识与基本技能．而在解答题中则主要与三角形、函数、空间几何体、圆锥曲线等结合、交汇. 5．按教材编排体系，解三角形在本专题中复习，即正、余弦定理(及其各种变形)运用于三角形形状的判断、证明三角形中的边角恒等式、定比分点及求解有关实际应用问题这也是高考热点之一． 6．对于学有余力的学生，可以适当补充简单的空间解析几何知识，如空间直角坐标系中平面的方程(特别是平面的截距式方程)，点到平面的距离公式等. 7．知识网络 向量 二．经典例题剖析 考点一：向量的概念与运算 例题1：下面有四个关于向量数量积的关系式： ①0·0＝0；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·b＝b·a；④|a·b|≤a·b 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 解析：根据向量运算法则，①和③是正确的. 对于②，(a·b)·c是一个与向量c平行的向量，而a·(b·c)是一个与向量a平行的向量，通常情况下不正确；对于④，|a·b|是一个正实数，而a·b可能是一个负实数. 答案：D 点评：从向量的基本运算法则出发，细心判断.这里要特别注意向量0与实数0的区别. 例题2：平行四边形OACB中，BD＝ EQ \f(1,3)BC，OD与BA交于E，求证：BE＝ EQ \f(1,4)BA证明：设E’是AB上一点，且BE’＝ EQ \f(1,4)BA只需证E、E’重合即可，设 EQ \o(OA,\s\up5(→))＝\o(a,\s\up5(→))，\o(OB,\s\up5(→))＝\o(b,\s\up5(→))，则 EQ \o(BD,\s\up5(→))＝\f(1,3)\o(a,\s\up5(→))，\o(OD,\s\up5(→))＝\o(b,\s\up5(→))＋\f(1,3)\o(a,\s\up5(→))∵ EQ \o(BE,\s\up5(→))＝\o(OE,\s\up5(→))－\o(b,\s\up5(→))，\o(EA,\s\up5(→))＝\o(a,\s\up5(→))－\o(OE,\s\up5(→))，3\o(BE,\s\up5(→))＝\o(EA,\s\up5(→))∴3( EQ \o(OE,\s\up5(→))－\o(b,\s\up5(→)))＝\o(a,\s\up5(→))－\o(OE,\s\up5(→))∴ EQ \o(OE,\s\up5(→))＝\f(1,4)(\o(a,\s\up5(→))＋3\o(b,\s\up5(→)))＝\f(3,4)(\o(b,\s\up5(→))＋\f(1,3)\o(a,\s\up5(→)))∴ EQ \o(OE,\s\up5(→))＝\f(3,4)\o(OD,\s\up5(→))，∴O、E’、D三点共线，即E、E’重合∴BE＝ EQ \f(1,4)BA A O C B D E E’ 点评：用向量方法证明平面几何问题，首先是选择一组适当的基底向量，然后再设法将其余相关向量都用基底向量表示出来，这样，相关点、线关系就能很容易第凸现出来. 考点二：定比分点与解三角形 例题3：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(－2，1)，B(3，4)，C(－1，3)，则第四个顶点D的坐标为( )A.(2，2) B.(－6，0) C.(4，6) D.以上都不对解析：本题只需要抓住平行四边形的两条对角线互相平分， 于是设D(x,y)，有－2＋(－1)＝3＋x且1＋3＝4＋y 从而x＝－6,y＝0 答案：B 点评：利用平面几何性质及中点坐标公式，是解决本题的要点. 例题4：已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足| EQ \o(PA,\s\up5(→))|－|\o(PB,\s\up5(→))|＝2，| EQ