专题：三角的问题与方法.docVIP

PAGE  PAGE 24 专题四：三角问题的题型与方法（3课时） 一、考试内容 角的概念的推广，弧度制； 任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式：，，，正弦、余弦的诱导公式；两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切；正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期函数，函数的图象，正切函数的图象和性质，已知三角函数值求角；正弦定理，余弦定理，斜三角形解法举例. 二、考试要求 1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算. 2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义. 3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦???正切公式。 4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. 5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解、、的物理意义. 6．会由已知三角函数值求角，并会用符号、、表示. 7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题. 三、复习目标 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等． 2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明． 3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 4．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． 5．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点法画出函数的图象. 6．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 四、双基透视 （一）三角变换公式的使用特点 1．同角三角函数关系式 (1)理解公式中“同角”的含义． (2)明确公式成立的条件。 例如，，当且仅当时成立. (3)掌握公式的变形．特别需要指出的是，它使得“弦”可以用“切”来表示． (4)使用这组公式进行变形时，经常把“切”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法． (5)几个常用关系式 ①，，；(三式之间可以互相表示．) 设，两边平方，得 ，， 又，， 同理可以由或推出其余两式． ②． ③当时，有． 2．诱导公式 (1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角． (2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定． (3) ；． ⑷熟记关系式；． 3．两角和与差的三角函数 (1)公式不但要会正用，还要会逆用． (2)公式的变形应用要熟悉． 熟记：，它体现了两个角正切的和与积的关系． 还有：；； (3)角的变换要能灵活应用，如，， 等． 4.倍角公式，半角公式 （1）明确倍角、半角的相对性，如可以看成的半角，也可以看成的二倍. (2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确． 如已知，，求时，应分别选择 ，，. (3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法． 降幂公式：，， 升幂公式：，. (4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法．正切的半角公式有三个表达式：. 在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，遇到时，通常都选用有理表达式，又因为，所以从公式可以得出，与同号. 5．三角变换： 三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换． 三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式为基础． 三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决． 6．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换：因为在中，，所以 ；；． ；；. (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理． 面积公式：，其中为三角形内切圆的半径，为周长之半. (3)对任意，； 在非直角中，． (4)在中，熟记并会证明： ，，成等差数列的充分必要条件是． 是正三角形：则面积，高． 7．三角形的面积公式： （1）（、、分别表示，，上的高）． （2）． （3）＝＝． （4）．（为外接圆半径） （5）． （6）；． （7）． 8．直角三角形中各元素间的关系： 如图，在中，，，，． （1）三边之间的关系