专题：用均值不等式求最值的常用技巧.docVIP

PAGE  PAGE 4 专题：用均值不等式求最值的常用技巧 均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当时，求的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当且仅当，即x＝2时取等号。 所以当x＝2时，的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项 例2.（1）已知，求函数的最大值。 解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。 ∵∴ 当且仅当，即时等号成立。 （2）已知正数，满足，求的最大值。 分析：把所求式的变量x都移到根号里，同时凑系数满足已知条件使和为常数，用均值不等式求积的最大值。 解：∵，∴。 ∴。 当且仅当且时等号成立，又因，为正值，可解得，时等号成立。故有最大值为。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 3. 分离 例3. 求的值域。 解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当，即时 （当且仅当x＝1时取“＝”号）。 当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。 ∴的值域为。 评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 二、代换 1、直接用代换法 例4. 已知，，，，求的最小值。 解：直接将代入得 ，当且仅当，，，，即，，时等号成立，故的最小值为36。 例5. 已知，，，，且，求证：。 证明：，当且仅当时等号成立，所以原不等式成立。 2、变换条件用代换法 例6. 已知，，，求的最小值。 解：本题表面上看不能用代换法，但若将条件变换为，则可用代换法求解。 由已知得，，。∴，当且仅当，且，即，时等号成立。故的最小值为9。 3、创造条件用代换法 例7. 已知，，，求的最小值。 解：本题条件中没有给出含1的等式，无法直接用1的代换法求解，但观察待求函数，易知其分母之和为1，故可将代入所求函数式，即可用1的代换法求解。 ，当且仅当，即时等号成立。 故。 例8. 已知，求函数的最小值。 解：∵， ∴，此时。 例9. 不等式对恒成立，求n的最大值。 解：∵，∴， ∴ 。∴，故n的最大值为4。 解法2：将分子中的1用代换。三、换元 例10. 求函数的最大值。 解析：变量代换，令，则 当t＝0时，y＝0 当时， 当且仅当，即时取等号。 故。 评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。 四、平方 例11. 求函数的最大值。 解析：注意到的和为定值。 又，所以当且仅当，即时取等号。 故。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件???用均值不等式。 ［练一练］ 1. 若，求的最大值。 2. 求函数的最小值。 3. 求函数的最小值。4.已知，且，求的最小值。 5. 已知，，y，，求的最小值。 6. 已知，，，求的最小值。 7. 已知，m，n，求证： 参考答案：1. 2. 5 3. 8 4. 5.8 6.