专题：极限与函数的导数的题型与方法.docVIP

第二轮复习教案 镇平雪枫中学 答磊 PAGE  极限与函数的导数的题型与方法 -  PAGE 25 - 专题八 极限与函数的导数的题型与方法 【考点审视】 极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变： （1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)是常数）,2),3). (2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。 （3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。 （4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。 （5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。 （6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。 【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对、、、型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14）= 【分析】这是型，需因式分解将分母中的零因子消去，故 ==。 2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如： （2004年广东,4）…+ )的值为…（ ） （）-1 （）0 （） （）1 【分析】这是求无穷项的和，应先求前项的和再求极限=，∴原式==-1，故选。 3，无穷等比数列的公比，当||1时，各项的和及重要应用。例如（2004年上海，4）设等比数列（）的公比，且=，则 【分析】数列是首项为，公比是的等比数列，∴==，解得=2。 4，当且仅当时， ，时可有定义也可无定义。例如下列命题正确的是……………………………………………( ) ()若,则，若,则，若,则， (D)若,则。 【分析】()中无定义，（）中无定义，而(D) ，，故是正确的。 5，函数在处连续是指，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。 6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如在（，）处的导数存在吗？为什么？ 【分析】， ∴在（，）处的导数不存在。 7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。 8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。 9 导数与函数的单调性的关系 ㈠ 与为增函数的关系。 能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。 ㈡ 时，与为增函数的关系。 若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。 ㈢ 与为增函数的关系。 为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 ㈣ 单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。 ㈤ 函数单调区间的合并 函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此