个Sqrt函数引发的血案.docxVIP

 HYPERLINK /jyshis/archive/2011/09/08/2171869.html 一个Sqrt函数引发的血案 源码下载地址： HYPERLINK /post/story-about-sqrt.aspx \t _blank /post/story-about-sqrt.aspx 好吧，我承认我标题党了，不过既然你来了，就认真看下去吧，保证你有收获。 我们平时经常会有一些数据运算的操作，需要调用sqrt，exp，abs等函数，那么时候你有没有想过：这个些函数系统是如何实现的？就拿最常用的sqrt函数来说吧，系统怎么来实现这个经常调用的函数呢？ 虽然有可能你平时没有想过这个问题，不过正所谓是“临阵磨枪，不快也光”，你“眉头一皱，计上心来”，这个不是太简单了嘛，用二分的方法，在一个区间中，每次拿中间数的平方来试验，如果大了，就再试左区间的中间数；如果小了，就再拿右区间的中间数来试。比如求sqrt(16)的结果，你先试（0+16）/2=8，8*8=64，64比16大，然后就向左移，试（0+8）/2=4，4*4=16刚好，你得到了正确的结果sqrt(16)=4。然后你三下五除二就把程序写出来了： float SqrtByBisection(float n) //用二分法 { if(n0) //小于0的按照你需要的处理 return n; float mid,last; float low,up; low=0,up=n; mid=(low+up)/2; do { if(mid*midn) up=mid; else low=mid; last=mid; mid=(up+low)/2; }while(abs(mid-last) eps);//精度控制 return mid; } 然后看看和系统函数性能和精度的差别（其中时间单位不是秒也不是毫秒，而是CPU Tick，不管单位是什么，统一了就有可比性）  从图中可以看出，二分法和系统的方法结果上完全相同，但是性能上整整差了几百倍。为什么会有这么大的区别呢？难道系统有什么更好的办法？难道。。。。哦，对了，回忆下我们曾经的高数课，曾经老师教过我们“牛顿迭代法快速寻找平方根”，或者这种方法可以帮助我们，具体步骤如下： 求出根号a的近似值：首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。 例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了： (?????? 4? + 2/4??????? ) / 2 = 2.25 (???? 2.25 + 2/2.25???? ) / 2 = 1.56944.. ( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189.. ( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423.. .... 这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。 相关的代码如下： float SqrtByNewton(float x) { float val = x;//最终 float last;//保存上一个计算的值 do { last = val; val =(val + x/val) / 2; }while(abs(val-last) eps); return val; } 然后我们再来看下性能测试： 哇塞，性能提高了很多，可是和系统函数相比，还是有这么大差距，这是为什么呀？想啊想啊，想了很久仍然百思不得其解。突然有一天，我在网上看到一个神奇的方法，于是就有了今天的这篇文章，废话不多说，看代码先： float InvSqrt(float x) { float xhalf = 0.5f*x; int i = *(int*)x; // get bits for floating VALUE i = 0x5f375a86- (i1); // gives initial guess y0 x = *(float*)i; // convert bits BACK to float x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeati