个初中等超越函数不等式的点改进 .docVIP

一个初等超越函数不等式的一点改进○陈斯娜 （嘉应学院 数学1109， 042） [摘 要] 利用导数证明不等式的方法，改进了一个初等超越函数不等式。[关键词] 初等函数不等式；单调性；微分中值定理 给出如下一个初等超越函数不等式： 若,≠1则㏑() （1）此不等式可以用微分中值定理和泰勒级数展开式等方法进行证明。笔者认为这些不等式的双边仍可以改进，使之更精确，本文利用分析的方法对（1）作出了改进。为此，先介绍两个引理。1 引理 引理 1 若函数fx在区间可导，有 f’x0（f’x0），则函数fx在区间严格增加（严格减少）。证明 若函数fx在区间上恒有f’x0，则对任意, (设)应用拉格朗日定理，存在,使 由此得证在上严格增加. 引理2 若函数与满足下列条件： 在闭区间[]上连续； 在开区间（）内可导，且（或）； （或）； 则在开区间（）内有. 证明 设，则对有 （或）， 由引理1，函数在（）上严格增加（或严格减少）. 已知在上连续，且 或（）， 于是，对，有 （或）， 即在（）内有 ，证毕. 2 定理及推论 定理1 设，则 （2） 证明 设，则在上连续，且有 由于，根据引理2，对，有 即当时，有 . （3） 再设则 ， 当时，由可推知 ， 当时，由可推知 ，. （4） 综合（3），（4）有（2）.证毕. 定理2 对，设，则 （5） 证明 设，则在上连续，有 当时，有，根据引理2，对，有 ， 即当时，有 （6） 综合（3），（6），有（5）.证毕. 推论 设，则 （7） 证明 由定理2，取，即得证. 评注1 不等式（2）是不等式（1）的改进. 评注2 当限定定义???时，可以把不等式（1）改进成（5）式，并由此不等式得不等式（7），这个式子较（1）更为精确与美观. 参考文献 [1]数学分析.上册.第三版.华东：高等教育出版社