个剖分问题的分类研究.docVIP

75.一个剖分问题的分类研究 （陕西省小学教师培训中心 王凯成 710600） 把一个三角形分成四个面积相等的三角形，能找到多少种分法呢？ 根据“等底等高的两个三角形等积”的原理，首先想到把三角形ABC的一条边AB四等分，把各分点、、与另一个顶点C相连，如图1所示。 这样，。 根据图1，可以想到如下的分类研究： 去掉分点、、中的一个与C点的连线。 去掉，利用“等底等高的两个三角形等积”的原理，得到图2和图3。 图2中D是AC的中点，图3中D是的中点。 去掉，利用“等底等高的两个三角形等积”的原理，得到图4和图5。 图4中D是的中点，图5中D是的中点。 3. 去掉，利用“等底等高的两个三角形等积”的原理，得到图6和图7。 图6中D是的中点，图7中D是CB的中点。 二、去掉分点、、中的两个与C点的连线。 1.去掉和，利用“等底等高的两个三角形等积”的原理，得到图8～图17。 图8中D和E是AC的两个三等分点，图9中E是AC的一个三等分点、D是的中点，图10中E是AC的一个三等分点、D是的中点，图11中D是AC的一个三等分点、E是的中点，图12中D是AC的一个三等分点、E是的中点，图13中D和E是的两个三等分点，图14中E是的一个三等分点、D是的中点，图15中E是的一个三等分点、D是的中点，图16中D是的一个三等分点、E是AD的中点，图17中D是的一个三等分点、E是的中点。 根据“三角形的重心与三顶点的连线分三角形为等积的三个小三角形（可由“等底 等高的两个三角形等积”推得）”，当去掉分点和时可得到一种分法见图18。G是图18中三角形的重心。 去掉和，利用“等底等高的两个三角形等积”的原理，得到图19～图22。 图19中D是的中点，图20中D是的中点、E是CB的中点，图21中D是AC的中点、E是的中点，图22中D是AC的中点、E是CB的中点。 3. 去掉和，利用“等底等高的两个三角形等积”的原理，可以得到图23～图33。 与“去掉和”的情况类同，可以得到11种分法，得到图23～图33（略）。 去掉全部分点、、与C点的连线。 1.根据图19，去掉连线DC2，取AD的中点E，连接BE，则, 见图34。类似的有图35、图36、图37、图38、图39。 2. 三角形三边中点的连线形成的??个小三角形等积（可由“等底等高的两个三角 形等积”推得）。 图40中D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。 根据以上分类研究可知：类似图1~图33的三角形有33×3=99种, 而图34~图40的三 角形有7种, 所以符合条件的分法可以找到99 + 7=106种。 本文发表于陕西师范大学主办的《中学数学教学参考》初中版2011年第7期。