九平面向量的概念及运算.docVIP

第九讲：平面向量的概念及运算 1．向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”（），表示ABC的边BC的中线。向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），||表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线长分别为|+|、|-|。是的重心。会用“模不等式”：|||-|||≤≤||+||解决有关模的范围问题，关注等号成立的条件。 [举例1] 已知△ABC的三个顶点A、B、C及其所在平面内一点P，满足++=，则点P与△ABC的关系为： A. P在△ABC内部 B. P在△ABC外部 C. P在边AB所在的直线上 D. P是AC边的一个三等分点 解析：由++=+=++==-2 P与A、C共线且为线段AC的三等分点，选D。新课程教育 [举例2]已知=（3，4）， =1，则||的取值范围是__________ 解析：思路一：用“模不等式” ???|||-||||5-|||≤1||∈[4，6]。[来源:新课程教育] 思路二：记=，=，则A（3，4），=||=1，即点B到定点A的距离为1，∴点B在以A为圆心，1为半径的圆周上，数形结合不难得到||∈[4，6]，即||∈[4，6]。新课程教育 [巩固] 已知⊿ABC，若对任意t∈R，||≥||，则 A．∠A=900 B．∠B=900 C．∠C=900 D．∠D=900 [迁移]已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cos,sin），则向量与向量的夹角范围为：(A) [0,] (B) [,] (C) [,] (D) [,] 2.在≠0时，∥(即、共线)存在实常数使=（特别地：当0时同向，当0时反向）；若=（x1,y1）, =(x2,y2),则∥x1y2=x2y1（“共线”的坐标表示）。引申：若A、B、P三点共线，则；拓展：若则A、B、C共线当且仅当=1。[关注]表示与向量同向的单位向量，（），0表示∠BAC的平分线。 [举例]设、是两个起点相同且不共线的非零向量，则当实数t=______时，,t,(+)三向量的终点共线新课程教育 解析：记=，t=，(+)=，A、B、C三点共线即向量、共线存在实数，使得=即：t-=（-），∵、不共线（很重要！） ∴t=且1= t=。注意：若、不共线的非零向量，且m+n=p+q则： M=n且p=q(m,n,p,q是实数)，读者可以思考一下为什么？ [巩固]非零向量=（sin,1）, =(0,cos),-所在的直线的倾角为，（1）若与共线，求的值；（2）当∈（0，）时，求证：=/2 。 [迁移]是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：=+ 则P点的轨迹一定通过△ABC的的轨迹一定通过△ABC的[来源:新课程教育] （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 3．向量的数量积：（符号运算）；其中可视为向量 在向量 上的射影。向量的数量积是数而不是向量，向量的射影是数而未必是正数。。向量的数量积满足交换率、对加（减）法的分配率、不满足结合率，即（·）·≠·（·），一个等式的两边、一个分式的分子分母不能同乘以或同除以一个向量。若=（x1,y1）, =(x2,y2),则·= x1 x2+y1 y2（坐标运算）;在使用向量数量积的公式时，要根据题目的条件和设问特点选择使用符号运算还是坐标运算。 应用：（1）角度：且；可视为与、同向的两个单位向量的数量积；,为锐角0且、不共线，,为锐角 0且、不共线；特别地：0x1 x2+y1 y2=0； O是⊿ABC的垂心·=·=·（请读者证明这个结论）。 （2）长度： 即∣∣2=（）2（符号运算）；∣∣2=x12+y12 （坐标运算）。 ⊥|-|=|+|（矩形），（-）⊥（+）||=||（菱形）， |-|2+|+|2=2（||2+||2）（即平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，对已知三角形三边长求中线长的问题用这个结论很快捷）。 [举例1]已知=（1，0），=（0，1），求使向量+k与向量+2k的夹角为锐角的k的取值范围。 解析：+k=（1，k），+2k=（2k，1），向量+k与向量+2k的夹角为锐角新课程教育 （+k）（+2k）0,且+k与+2k不共线，即2k+k0且2k2≠1得：k0,且k。 [举例2]已知向量＝（cos，sin），＝（cos，—sin），且x∈［，］. 求及|+|；（II）求函数f(x)＝-的最小值。 解析：（Ⅰ）= coscos—sinsin=cos2x （坐标运算）, == —2cosx（符号运算）； [来源:新课程教育] （Ⅱ）f(x)= cos2x +2cosx =2 co