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习 题 课 三 重 积 分 一、 三重积分的概念 （ⅰ）定义：设是空间有界闭区域上的有界函数。函数在闭区域上的三重积分.其中成为积分区域，称为体积元素 （ⅱ）当在有界闭区域上连续时，三重积分一定存在。 （ⅲ）三重积分的物理意义：设物体占有空间有界闭区域，它在点处的体密度为，并假定在上连续。则物体质量为。 （2）三重积分的性质：二重积分的性质可推广到三重积分，如： （ⅰ）为的体积； （ⅱ）（三重积分的中值定理） 设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点使得 二、 三重积分的计算法 （ⅰ）利用直角坐标计算二重积分： ①先单后重计算法：若空间闭区域， 若，则三重积分可化为如下三次积分： 。 ②先重后单计算法：设空间闭区域， 其中是竖标为z的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则有： （ⅱ）利用柱面坐标计算三重积分：若空间闭区域可以表示为： ，则 （ⅲ）利用球面坐标计算三重积分：若空间闭区域可以表示为： ，则 举例如下： 教科书 P164习题10-3、1，（1）直角坐标、（2），直角坐标（先单后重。先重后单）和柱坐标 （3）直角坐标。（4），先单后重。8，先重后单。9，（1）柱坐标。10，（1）球坐标 同步练习9.3-2 、 三， 化三重积分为三次积分其中积分区域分别是: 由双曲抛物面 所围成的在第一卦限内的闭区域。 解：（1） （2） （3）联立所以在xOy面上的投 影区域 （4）在xOy面上的投影区域为：的上边界为 计算，其中是由锥面与平面所围成的闭区域。 解：在z轴上的投影区间为[0,h]过z轴上的区间[0,h]内任何一点z作垂直于z轴的平面截 得截面为一圆域，其半径为:,其面积为。 所以有 9.利用柱面坐标计算下列三重积分 其中是曲面所围成的闭区域. 解：联立得：即故在面xOy上的投影区域为：.用柱坐标得： 利用球面坐标计算下列三重积分 其中是由球面所围成的闭区域。 解：