习题 微分方程.docVIP

习 题 六 一．求解下列微分方程. ⑴ [解答] 令 ，则原微分方程可变化为 解其对应的齐次方程 ，可得 令 为原方程的解，代入方程有 ， 解得 ，所以 故原方程的解为 ⑵ [解答] 原方程可变换为 解得 ，即 ， 又 ，则 ，故 二．求解下列微分方程. ⑴ [解答] 令 ，则 ，原方程可变换为 即 ，解得 ，将 代入可得 ⑵ [解答] 设 ，将方程右端同除 后可变换为 解得 即 由 可得 ，故所求方程为 三．求解下列微分方程. ⑴ [解答] 令 ，又 ，则原方程式可变换为 解其对应的齐次方程，可得 令 为原方程的解，代入方程有 解得 所以 ⑵ [解答] 方程可变换为 其对应其次方程 可解为 ，积分可得 ， 即 ，齐次方程的通解为 令 ，代入原式中有 ，积分可解得 故原方程的通解为 ⑶ [解答] 设 ，则 ， 所以原式可变换为 由贝努利方程，设 ，则方程变换为 其对应的齐次方程的解为 ， 令 ，代入原方程中可解得 所以 ，即 五．求解下列微分方程 ⑴ [解答] 原式可变换为 ，即 设 ，则原方程可变换为 其对应的齐次方程的通解为 令 为原方程的解，代入原式中有 ，可解得 故 ⑵ [解答] 原式可变换为 由贝努利方程，设 ，则原式可变换为 其对应的齐次方程的通解为 令 为原方程的解，代入可得 解得 所以 六．函数 在实轴上连续， 存在，且具有性质 ，试求出 . [解答] 在实轴上连续，设 ，则 可得 又 存在，则对任意 ，有 即 处处可微且满足 解得 又 故 八．求解下列方程 ⑴ [解答] 原式可变换为 ，即 令 ，则又变换为 ，即 解此方程可得 又 ，则 ，所以 ⑵ [解答] 令 ，则 ， 则原式可变换为 解此方程可得 ，即 又 ，则 ，所以 九．求解下列方程 ⑴ [解答] 令 ，则原方程可变换为 即 ，积分可得 即 解得 ⑵ [解答] 令 ，则原方程可变换为 解得 ，又 ，可得 所以 ，则 ，又 ，可得 故 ⑶ [解答] 令 ，则原方程可变换为 令 ，则原方程又可变换为 解此方程可得 ，当 时， ，可得 则 ，又 ，可得 所以 十二．求解下列微分方程. ⑴ [解答] 令 ，即 ，则原方程可变化为 即 相应特征方程为 齐次方程通解 特解 所以原式的通解为 ⑵ [解答] 令 ，即 ，则原方程可变化为 即 相应特征方程为 ??? 齐次方程通解 特解 所以原式通解为 五．一质量为 的物体，在粘性液体中由静止自由下落，假如液体阻力与运动速度成正比，试求物体运动的规律. [解答] 物体受到的重力为 ，阻力为 ，则 ，其中 ， ，则方程式变为 令 ，则方程式变化为 解其对应的齐次方程，可得 令 为原方程的解，代入方程有 ， 解得 ，所以 ， 又 ，则 ，又 ，则 所以 十六．有一盛满水的圆锥形漏斗，高 ，顶角 ，漏斗尖处有面积为 ㎡的小孔，求水流出时漏斗内水深的变化规律，并求出全部流出所需要的时间. [解答] 从时刻 到 小孔流出的水量为 在此时间内，液面由 降至 ，水量减少为 由题意可知 ，则 ，且当 时， ㎝. 所以方程为 当水全部流出时， ， . 十七．设经过原点的曲线族上任一点 处的切线交 轴于点 ，从 点向 轴作垂线，其垂足为 ，已知 与 轴所围成的三角形的面积与曲边三角形 的面积之比等于常数 ， 试求该曲线族. [解答] 为曲线上一点，则切线 的方程为 ， 坐标为 ,由题意可知 三角形 的面积为 曲边三角形 的面积为 又 ，则 ，对方程两边求导可得 化简可得 令 ，代入方程可得 解得 ，即 又 ，则解得 ，即 . 十八．有一房间容积为 ，开始时房间空气中含有二氧化碳 ，为了改善房间的空气质量，用一台风量为 /分的排风扇通入含 的二氧化碳的新鲜空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出 分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？ [解答] 设在 时刻， 的含量为 ，则在 时间内进入房间的 的含量为 ，排出房间的 的含量为 所以在 内 的改变量为 化简得 解得 又 则 ，即 所以当 时， ，即 的含量为 .