从高中考命题谈高中中数学例题的变题教学.docVIP

从高考命题谈高中数学例题的变题教学 325000 温州市第五十一中学 俞美丹 【摘要】高考试题来源于教材，又高于教材。本文结合高考试题，挖掘教材中的典型例题。通过对典型例题的变题教学，抓住数学本质，提高教学效率，帮助学生脱离题海。 【关键词】高中数学 例题 变题 教学 从每年高考数学试卷中，我们总是找出许多与教材中的例题相似或来源于教材例题的试题，这些试题考查的都是现行教材中最基本、最重要的数学知识和技能，所用方法也往往是普遍性、一般性方法，既体现高考的公平公正，也对中学数学的教学进行有效检验。 事实上，对于高中数学而言，教材是学生学习数学的第一手资料，这不仅仅是内容上的统一，而且定义、定理、公式等叙述上的规范，符号上的使用也是统一的。教材既具有完备的知识体系，又具有权威性，是教师进行数学教学的主要依据，也是学生学习数学基础知识的重要依据。教材中的例题更是经过编者反复论证、精心设计的，具有典型的范例作用，蕴含着基本的解题思想和方法，具有很高的教学价值。所以，不管高考命题如何改变，我们都能在高考试题中找到大量的教材原题或由这些原题进行引申、变化而来的试题。因此，我们很有必要对高中数学教材中的例题进行深入研究，做好教材上的典型例题的变题教学，提高教学效率，避免因乱用复习资料而造成无谓的重复劳动。 下面以人教社A版高中数学教材为例，结合高考试题，谈谈高中数学的例题变题教学。 例1 （2008年浙江理科卷第14题）如图1，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于_________。 图1 本题中，四面体的四个面都是直角三角形，这是立体几何中的一个基本图形，我们这里不妨称为“直角四面体”。另外在2008年安徽理科卷第16题中也出现了这个四面体。 （2008年安徽理科卷第16题）已知A、B、C、D在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是 而这个“直角四面体”恰好是长方体的一部分，如果能在教学中引导学生深刻认识它们之间的相互关系，那么一类问题就很快找到突破口了。如2008年湖南理科卷第9题，陕西理科卷第14题。 “直角四面???”作为典型图形，在教材必修2中我们可以发现原题。 图2 例2 （教材必修2第69页）如图2，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. 例3 （教材必修2第69页的探究）如图3，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直，为什么？ 再看例4，题中也出现了“直角”四面体. 图3 例4（选修2-1第109页例4）如图4，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PO底面ABCD,PD=0C,点E是PC的中点，作EF⊥PB,交PB于点F。 求证：PA∥平面EDB; 求证：PB⊥平面EFD; 求二面角C-PB-D的大小。 图4 “直角”四面体不仅在课本例题中出现，它在课本的习题中也多次出现。所以对“直角”四面体的教学可以渗透在整个立体几何的学习过程中。我们可以从教材的典型例题出发，对此“直角”四面体的教学作了一些变式及探究。如由以上例3可以设置如下问题： 例5 如图3，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD, 有多少对线线垂直？ 有多少对线面垂直； 有多少对面面垂直。 通过本例的改编，我们既复习了线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系，又通过引导学生反思此题中的难点，即最不容易看出来的是面ADC⊥面ABC，促进学生的反思与建构。 在例5的基础上，我们还可以再增加一些条件，引导学生进行进一步的思考： 例6 如图5，若B在AC,AD上的射影分别是E,F，连接EF, （1）有多少对线线垂直？ （2）有多少对线面垂直？ （3）有多少对面面垂直？ 图5 这里利用了“垂面内垂直交线的垂线垂直另一个平面”这个面面垂直的性质定理，同时截得的小四面体ABEF仍是一个四个面均为直角三角形的四面体。 通过对例5的变式，使得题目更加开放。通过对这个开放题的解决，不仅让学生复习了线线垂直、线面垂直、面面垂直等基础知识，而且深深体会了他们之间的密切关系，并且找到了证明这些垂直关系的关键----线面垂直。有了这些垂直关系的基础，相关的一些量的计算也就迎刃而解了。 例7 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=4,BC=3,CD=2. （1）求异面直线AD与BC所成的角； （2）求二面角B-AD-C的大小。 教师可以引导学生用综合方法、向量方法、坐标方法解决这两个最典型的定量问题。同时，在用向量方法的解题过程中，还得到了该四面体的其他一些等量关系：