代入法的理论基础-连续.docVIP

“更快地计算极限”的方法执行起来比较程序化，便于记忆，求解较难的题时，一般都能轻松简捷地得到结果。其中“代入法”和“等价无穷小替换”更是最重要的武器。下面补充阐明它们的理论基础——“连续” 连续是某些事物变化的重要特征，如何用数学方法来精确刻画它呢？有了严格的定义以后，就可以对它作深入细致地分析。由此，我们将会看到一些非常精彩的结论。 1. 函数y=f(x) 在x=a点连续,是指函数的图象__曲线L: y=f(x)上的点P (当然a点应该在函数的定义域内, b=f(a) ,点p_(a,b)),L在p点处没有断开，它的左右两边都与L上的其他点连接在一起。连续的这一直观印象怎样用数学的量来描述它呢？ 增量△x=x-a表示L上的动点q(x,y) 相对p点自变量x的变化量， 同样函数的增量 △y=y-b= f(x)-f(a)表示函数y的变化量。 当△x →0时(△x为无穷小量)若L在p点是连续的, 则q点可以无限靠近p点,这时应有△y→0 (自变量的增量是无穷小时函数增量也是无穷小)。由此可得 定义：函数y=f(x) 在x=a点处连续=0 2. 等价定义 连续极限值等于函数值。(见到“连续”就要快速反应它) 证：∵== =。…(1) 判断函数在某一个点a处是否连续，只需求极限，并判别其等于函数值f(a)否？或者是求极限,看函数的增量是否是无穷小量？ 3. 定理 函数f在它的连续点处求极限时也可以用代入法，可以交换极限与变量的运算次序。 证：关系式(1)就是定理的结论。 注意：求极限时,也可先交换极限与函数的运算次序(回头再核查关键点的连续性)。 如果a是f的间断点，要么无法将x = a 代入，交换运算次序就是硬性代入，会产生“无意义”的情况，表示“代入法”不能用了，需要改用其它的方法去求极限。 例 10常量函数y=C在R=(-∞, +∞)内连续。(∵△y≡0) 20线性函数y=ax+b在R内连续。(∵△y=a△x→0) 4. 定理 连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数。 若y=f(x)与z=g(x) 都在x=a点连续，则h(x)=f(x)+g(x)也在x=a点连续。 证：∵====, ∴连续函数的和函数仍然连续。同理 连续函数的 差、积、商仍然是连续函数。 （对于商的命题要加上条件：在a点处,分母部分的值不为0） 5. 定理 连续函数的复合函数连续。设=， u=g(x)，当x→x0时，g在x0处连续，且极限为：==。 且外层函数y=f(u)在u→u0时也连续，即=。则h在x0处连续。 证：∵==== ===。其中有=…(2) （其中u→u0与x→x0是同步发生的！） ∴ 复合函数在x0处连续。 (2) 正好说明了lim与f可以交换运算次序,因此定理2中的变量可以改为“函数”。 注意：上面定理的要求：在关键点x0与处内层函数g与外层函数f必须连续。 还有,在求极限的过程中，自变量的取值范围为邻域U(x0 ,ε)，首先要保证函数f在点x0的一个小邻域内有定义，否则x没有办法无限靠近x0。孤立点是不连续的点。 6. 定理 如果y=f(x)在x∈D上严格单调、连续，则存在反函数x = f -1(y)，y∈R， 且f -1也在R上严格单调、连续。 证：严格单调的函数是一一对应函数，自变量x大的对应的函数值y也大(或者小),将它的对应规则f反方向实施就是反函数f -1，它也是一一对应函数，f -1与f的几何图形都是同一条曲线(图2), f是连续的,作为同一条曲线的反函数f -1(y)当然也是连续的。 7. 定理 3就是我们求极限时使用代入法和交换运算次序的理论基础。 如果a不是f的连续点，要么无法将x = a 代入，硬性代入，会产生“无意义”的情况，表示“代入法”不能用了，需要改用其它的方法去求极限。现在剩下最后一个问题——如何判断a是不是f的连续点呢？在绝大多数情况下，定理 3就能解决问题。 8. 定理 初等函数在其定义域内(特指内点，不包括孤立点、边界点)都是连续的。 首先要证明基本初等函数的连续性：(注意：求极限△y→0时不能用代入法和等价无穷小替换，例如? Sinx ～ x 的证明中用了代入法，它要求cos x连续。) 下面将全部补证完基本初等函数的连续性(编号沿3.中10、20继续)。 30 正弦函数y=sinx在R内连续。证明如下： ① 0xπ/2时，0 sinx x (∵单位圆扇形的内面积大于三角形的内面积)。 由两边夹准则可得x→0+，(类似的x→0-)时，sinx→0，∴sinx在x=0处连续。 ② ∵x→0时，01-cosx =2 sin2(x/2)2 (x/2)2= x2/2，同样有cosx→1。 ③ x→a时,令x= a+t，t→0,f(x)=sinx=sin(a+t)=sinacost+cosasin