代数式-因式分解.docVIP

Just do it !  PAGE 9 Time waits for no one 代数式-因式分解 2013-08-23 HYPERLINK javascript:viewProfile();中考复习 一、基础知识 1）因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2）因式分解的常用方法 ①提公因式法：ab+ac=a(b+c) ②运用公式法： ·平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； ·完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 ·立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a2-ab+b2)； ·立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a2+ab+b2)； ·完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3． ③分组分解法：ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) 【例】m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n = (m2-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)． ④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) ⑤拆项、补项法：这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 【例】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 原式=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)． ⑥配方法：对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 【例】x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)2-(6.5)2=(x+8)(x-5)． ⑦十字相乘法 这种方法有两种情况： ·x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． ·kx2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)． 图示如下： a b 　× c d 例如：因为 1 -3 　× 7 2 且2-21=-19，所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)． ⑧应用因式定理：对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a． 【例】f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。 (事实上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．) ⑨换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元. 【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)． 求根法：令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ． 【例】因式分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6 解析：令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0。则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,…xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)… (x-xn)． 3）多项式因式分解的一般步骤 ① 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ② 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③ 如果用上述方法