代数 集合与子集.docVIP

高一第二讲 集合与子集 在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。 一 子集，相等的集合 例1. 已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}, C={x|x2-bx+2=0}, 若，求实数a,b的值 解 因A={1,2}, 且 故b的可能性有三种： 又由于方程x2-ax+a-1=0的根为1和a-1. 故B只有一种可能a-1=1，即a=2. 由知，当b=3时,A=C 另一种情况是C=, 即b2-80, . 例2. 设集合 求证：M=N 证明：任给x=12m+8n+4l ∈M, 则x=20l+16(n-l)+12(m-n) ∈N, 故MN； 任给y=20p+16q+12r ∈N, 则 y=12r+8(2q)+4(5p) ∈M,故N M. 所以M=N. 例3. 设函数，集合， 。 证明：； 当时，求。 当只有一个元素时，求证：． 解：（1）设任意∈，则＝.而 故∈,所以. 因，所以解得 故 。 由得解得 , 故＝{。 (3) 当只有一个元素时，方程 x=x2+ax+b即x2+(a-1)x+b=0 有两个相等的实数根，于是 (a-1)2-4b=0 (*)，A={}。 设任意x1∈B, 则，即 将（*）代入上式整理得：,显然B={}。 所以，A=B 例4. (1983年第1届美国数学邀请赛) 对于{1, 2,……n}和它的每个非空子集, 我们定义“交替和”如下:把子集中的数按从小到大的顺序排列, 然后从最大数开始交替加减各数. 例如{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9－6+4－2+1=6, {5,6}的“交替和”是6-5=1，{2}的交替和是2. 对于n=7, 求所有这些交替和的总和. 分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有27-1个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与A∪{7}的“交替和”之和应为7。那么，我们也就很容易解决这个问题了。 解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外还有27-2个非空子集合，把这27-2个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设Ai=(7,a1,a2,…), Ai’= Ai-{7}. 这是把Ai与Ai’结合为一组，显然，每组中，“交替和”之和应为7，共有组.所以,所有“交替和”之和应该为7×+7=448. 说明：我们在这道题的证明过程中用了这类题目最典型的解法。就是“对应”的方法，“对应”的方法在解决相等的问题中应用得更多。 例5．(1986年安徽省集训队测验题,) 为非空整数集合，对于1，2，3的任意一个排列，若，则 （1） 证明：三个集合中至少有两个相等。 HYPERLINK /   HYPERLINK /  （2） 试问S1, S2, S3中是否可能有两个无公共元素? 如果有, 请举例说明, 如果没有请说明理由. 证明：（1）若，则，所以每个集合中均有非负元素。 当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。 否则，设中的最小正元素为，不妨设，设为中最小的非负元素，不妨设则－∈。 若＞0,则0≤－＜，与的取法矛盾。所以=0。 任取因0∈,故－0＝∈。所以，同理。 所以=。 （2）可能。例如=={奇数}，={偶数}显然满足条件，和与都无公共元素。 已知集合A中有10个元素，且每个元素都是两位整数，证明：一定存在这样两个A的子集，它们中没有相同的元素，而它们的元素之和相等. 解：这10个元素的总和S＜100×10＝1000而A的子集总共有210＝1024＞1000＞S根据抽屉原理，至少存在两个子集，他们的元素之和相等，记为M、N，如果M、N没有公共元素，则M、N就是满足题意的子集，命题得证.如果M、N中有公共元素，记M∩N＝Q,考查集合M＝M－Q,N＝N－Q则M、N中没有公共元素，且M、N的元素之和相等，同时它们都是A的子集.即M、N为所求集合.命题成立！ 练习题 1（2011年全国高中数学联赛试题） 设集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为b={-1,3,5,8}，则集合A= . 答：{-3,0,2,6} 2.（2009年全国高中数学联赛贵州预赛试题） 定义b-a叫集合{x|a≤x≤b}的“长度”.设M={x|m≤x≤m+}，N={x|n-≤x≤n}，且M、N都是集