任意边形对边中点连线分割的图形面积问题.docVIP

任意四边形对边中点连线分割的图形面积问题 ------------------浅谈数学问题的提问技巧、以及数学知识的整合与拆分 四川省名山县永兴镇初级中学 宋威巍 邮编：625100 摘要：中学生在应用知识解决问题的时候，总是不能很快的理解题意，联系知识点较慢，不能由此及彼的进行知识拓展，解题过程混乱无根据。要提高学生这方面的能力，就必须让学生掌握对数学问题的提问技巧，对数学知识的拆分与整合。“提出合理的问题，解决问题。”是学习数学，提高数学，研究数学的关键。 关键词：四边形 中点 面积 提问技巧 整合 拆分 辅助线 在初中数学教学过程中，学生在应用知识、解决问题的时候常出现这样的一些问题（或者可以说是学生在数学学习上的弱点）：题意理解缓，条件联系慢，步骤计算恍，证明方法繁、语言表述差，性质运用乱。 而让学生根据问题提出一系列与之相关的问题，并能够通过提出的问题联系知识，解决提出的问题，再解决原来的问题的过程，则为数学问题的提问技巧。每一个数学知识都是一个数学问题，不断提出的与之相关的问题，相关问题的解决就是每一个数学知识的拓展，也可以说是数学知识的拆分；通过拆分的过程得到的新的知识，结合起来解决原有的问题，就是数学知识的整合。 特别是学生在解决几何问题的过程中，往往盲目的猜想，没有依据的做辅助线，这也是学生在数学学习的过程中存在的弊端.如何根据已知的条件提出解决问题的办法，作出必要的辅助线，是学生必须注意和掌握的重要方法。 下面就通过四边形对边中点分割的图形面积问题，具体的谈谈学生如何分析题目、设立问题、联系知识、添加辅助线、建立桥梁来解决问题。这个命题是四边形面积问题的创新，融合了多个知识，在教学的过程中，既培养了学生的分析能力，又综合了知识，提高了学生的数学认知,同时对学生在学习中存在的弱点也起到了一定的帮助。 命题：四边形对边中点连线所分割的四个小四边形，不相邻的两个小四边形的面积之和相等。 已知：如图，四边形中，分别是的中点，相交与点，其中分别表示四个小四边形的面积。 求证：. 分析过程：（对知识???拆分过程） 根据学生解题的惯性思维，学生很容易想到：依次连接四边形各边中点所成的图形（中点四边形）是平行四边形。如图所示，依次连接，将每个小四边形又分割为两个小三角形，那么这些三角形与我们要找的面积有什么联系呢？ 根据平行四边形的特殊性，学生可以联想到：不妨先研究平行四边形中由对角线分割的四个小三角形，它们有什么样的特征呢？ 显然，图形中的小三角形都不是特殊的，求面积不能单单想到三角形的面积公式。不相邻的两个三角形全等，面积也就相等，那么相邻的三角形之间有什么关系呢？通过图形分析，我们可以得出：等（同）底等高的两个三角形面积相等，这里就不再累赘证明。这样就得 到如下结论：平行四边形对角线所分割的四个小三角形面积相等，即： . 现在主要把问题集中到了平行四边形以外的四个小三角形上，如何将这四个小三角形的面积联系起来呢？此时把结论联系起来就会发现，现在只需要证明: . 在整个已知条件中，只出现了中点，显然，中点必定还存在它的作用。而条件中的中点，到底还有什么作用呢？图中出现了相邻两边中点的连线（辅助线以作），这里很容易想到中位线的知识，而在任意三角形中，中位线平行且等于所对边的一半。通过这个性质，在图形中构造含有中位线的三角形，即连接，其中出现了线段比，出现了相似图形，显然就能想到，相似图形的面积比等于相似图形对应线段比的平方。即： 综合上述分析：（知识再整合的过程） 故结论成立。 从上述分析过程，我们可以看到，学生只要能够养成“提出合理的问题”的习惯，就能够提高自己分析问题的效率；“解决提出的问题”，就能增强自己的逻辑思维能力，拓展知识；最后通过综合知识“解决根本问题”，就能达到对知识的整合，完善自己的数学知识体系。因此，简单的说：“提出合理的问题，解决问题。”是学习数学，提高数学，研究数学的关键。