体系-不等式及线性规划.docVIP

第一章：不等式解法与线性规划 第一讲；含有绝对值的不等式的解法 ①|x|a(a0)－axa； 　|x|a(a0) xa，或x－a. ②|f(x)|g(x) －g(x)f(x)g(x)； 　|f(x)|g(x) f(x)g(x)或f(x)－g(x). ③|f(x)||g(x)| [f(x)]2[g(x)]2[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]0. ④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值. 例1 解不等式 分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“” 看着一个整体。答案为。(解略) 例2、解不等式。 解:原不等式 (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)0(3x-4)(x-2)0 。 例3 解不等式。 分析:由，，得和。和把实数集合分成三个区间，即，，，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。 解:当x＜-2时，得， 解得： 当-2≤x≤1时，得， 解得： 当时，得 解得： 综??，原不等式的解集为。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集; (2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。 例4 对任何实数，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ( ) (A)k3 (B)k-3 (C)k≤3 (D) k≤-3 分析:设，则原式对任意实数x恒成立的充要条件是，于是题转化为求的最小值。 解:、的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离-的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）。 例5、解关于的不等式 解：⑴ 当时，即，因，故原不等式的解集是空集。 ⑵ 当时，即，原不等式等价于 解得： 综上，当时，原不等式解集为空集;当时，不等式解集为 第二讲：一元二次不等式的解法 　　任何一个一元二次不等式，经过不等式的同解变形，都能化为ax2＋bx＋c0（a0），或ax2＋bx＋c＜0（a0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”得解集（若判别式△≤0，则利用配方法求解较方便）． 　　详细解集见下表： 判别式△=b2－4ac△0△=0△0二次函数y=ax2＋bx＋c（a0）的图象y=ax2＋bx＋cy=ax2＋bx＋cy=ax2＋bx＋c一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a0）的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根没有实根ax2＋bx＋c0（a0）的解集{x|xx1，或xx2}Rax2＋bx＋c0（a0）的解集{x|x1xx2}　　 例1? 解下列关于x的不等式： (1)2x+3-x2＞0; (2)x(x+2)-1≥x(3-x); (3)x2-2 x+3＞0; (4)x2+6(x+3)＞3; 解：(1)原不等式可化为 x2-2x-3＜0, (x-3)(x+1)＜0. ∴? 不等式的解集为｛x｜-1＜x＜3｝. (2)原不等式可化为 2x2-x-2≥0, (2x+1)(x-1)≥0. ∴? 不等式的解集为｛x｜x≤- ，或x≥1｝. (3)原不等式可化为 (x- )2＞0. ∴? 不等式的解集为｛x｜x∈R且x≠ ｝. (4)原不等式可化为 x2+6x+15＞0. ∵? △＜0，方程x2+6x+15=0无实根， ∴? 不等式的解集为R. 例2? 已知不等式ax2+bx+2＞0的解为- ＜x＜ ，求a，b值. 解：方法一：显然a＜0，由(x+ )(x- )＜0， 得6x2+x-1＜0，变形得-12x2-2x+2＞0， 故a=-12,b=-2. 方法二：x=- 与x= 是ax2+bx+2=0的两根，故有 解得 评析? 这里应注意韦达定理的应用. 例3、已知关于x的方程ax2+bx+c＜0的解集为｛x｜x＜-1或x＞2｝.则不等式ax2-bx+c＞0的解集为?????????? . 例4? 若 x2+qx+q＞0的解集是｛x｜2＜x＜4｝，求实数p、q的值. 解：不等式(x-2)(x-4)＜0? ①的解集为｛x｜2＜x＜4｝. ①即为x2-6x+8＜0.??? 即-x2+6x-8＞0. 这与题中要求的不等式 x2+qx+p＞0是同解且同向的二次不等式. ∴其对应的系数成比例，且比值为正数(即二次项系数之值同号). ∴ = = ＞0? 解得p=-2 ,q= . 例6、求不等式x2-2x+2m-m2＞0的解集. 例7、关于x的不等式(m-2)x2-mx-1≥0，它的解集为｛x｜x1≤x≤x2｝,且1≤｜x1-x2｜≤3，求实数m的取值范围. 【素质优化训练】 1.解关于x的不等式x2-x-a2+a＞